Operatori i kundërt i laplace. Tau

Është një rast i veçantë i ekuacionit të Helmholtz. Mund të konsiderohet në hapësira tre-dimensionale (1), dy-dimensionale (2), njëdimensionale dhe n-dimensionale:

Operatori quhet Operatori i Laplace (operatori i Laplace është ekuivalent për të marrë vazhdimisht operacionet e gradidientit dhe divergjencës.).

Zgjidhja e ekuacionit LAPLAS

Zgjidhjet e ekuacionit të laplace janë funksione harmonike.

Ekuacioni i Laplace lidhet me ekuacionet eliptike. Ekuacioni i laplasës inhomogjene bëhet ekuacioni Poisson.

Çdo zgjidhje e ekuacionit të laplace në një rajon të kufizuar G është lëshuar në mënyrë të qartë nga kushtet kufitare të vendosura për sjelljen e zgjidhjes (ose derivateve të saj) në kufirin e rajonit G. Nëse zgjidhja gjendet në të gjitha hapësirat, kushtet kufitare janë reduktuar në parashkrimin e disa asimptotikë për f me. Detyra për të gjetur zgjidhje të tilla quhet një detyrë e vlerës së kufirit. Më shpesh ka një problem Dirichlet kur vlera e funksionit F është vendosur në kufi, dhe detyra e Neman, kur vlera f është vendosur në normale deri në kufirin.

Ekuacioni i Laplace në koordinatat sferike, polare dhe cilindrike

Ekuacioni i Laplace mund të shkruhet jo vetëm në koordinatat karteziane.

Në koordinatat sferike (ekuacioni i Laplace ka formën e mëposhtme:

Në koordinatat polare (sistemi koordinativ, ekuacioni është:

Në koordinatat cilindrike (ekuacioni duket:

Shumë detyra të fizikës dhe mekanikës i jepen ekuacionit të laplace, në të cilën vlera fizike është një funksion i vetëm koordinatave të pikave. Kështu, ekuacioni i Laplace përshkruan potencialin në një fushë që nuk përmban masat, potencialin e fushës elektrostatike - në një zonë që nuk përmban akuza, temperatura në proceset e palëvizshme, etj. Një numër i madh i problemeve inxhinierike të lidhura, në Veçanërisht, me një anije të ngadaltë stacionare të anijes së anijes, filtrimin spitalor të ujërave nëntokësore, ndodhjen e fushës rreth elektromagnet, si dhe fushën elektrike stacionare në afërsi të një izoluesi prej porcelani ose një kabllo elektrike të alternuar të seksionit të alternuar , është zvogëluar në zgjidhjen e ekuacioneve tre-dimensionale ose ekuacioneve poisson. Operatori i Laplace luan në një mekanik kuantik.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Shembulli 1.

Shembulli 2.

Çdo pjesë e sistemit të kontrollit, pavarësisht nëse është një rregullator, një objekt ose sensor, ka një hyrje dhe prodhim. Me ndihmën e inputeve dhe rezultateve, ato bashkëveprojnë me elementë të tjerë të sistemit dhe me një mjedis të jashtëm. Kur një sinjal input është i ekspozuar ndaj elementit të sistemit, disa ndryshime të brendshme të statusit ndodhin në këtë element, të cilat çojnë në një ndryshim në sinjalin e prodhimit. Kjo është, elementi i sistemit është një funksion i caktuar i varësisë y të x. Kjo mund të përshkruhet në figurën 1.

Figura 1 - Elementi i sistemit të kontrollit me input dhe output

Përkufizimi i funksionit F (x) është, në fakt, detyra kryesore zgjidhet brenda kuadrit të teorisë së kontrollit automatik. Dituria f (x) e objektit do të ndihmojë për të bërë algoritmin e duhur për kontrollin e tyre, f (x) të sensorit do të përcaktojë karakterin e reagimit dhe sintezën e f (x) do ta bëjë sistemin për një të vërtetë efikase. Vetë vetë quhet ndonjëherë operatori, pasi funksionon në sinjalin e hyrjes.

Operacionet themelore në TAU janë integrimi dhe diferencimi. Supozoni se sinjali rritet për një kohë, e cila shpesh është shumë karakteristike e sinjaleve në sistemet e kontrollit, pastaj për të përshkruar këtë proces duhet të "mblidhet" nga integrali në të gjitha intervalet kohore:

Diferencimi është gjithashtu jashtëzakonisht i dobishëm në teorinë e kontrollit automatik. Operatori i diferencimit në kundërshtim me operatorin e integrimit merr një derivativ nga sinjali i hyrjes, që është:

Një koncept shumë i rëndësishëm ka lindur në operatorin Tau - Laplace, i cili është projektuar për të zëvendësuar rekordin d / dt, me fjalë të tjera

Gjithashtu në disa burime, ky operator përfaqësohet nga produkti i një njësie imagjinare në frekuencën këndore, që është, p \u003d jω. Por ne nuk do të prekim ende brezin e frekuencës, sepse është një temë e gjerë dhe thjesht mbani mend dy rregullat më të thjeshta:

Si duket integrimi dhe diferencimi? Integrimi i sinjalit të sinjalit të lëvizjes është paraqitur në figurën 2a. Këtu gjithçka është e thjeshtë, sinjali do të rritet në çdo hap të integrimit derisa të arrijë vlerën e specifikuar fillimisht gjatë T1. Dhe çfarë nëse ju indiferentiate një sinjal të tillë? Në asnjë rast! Ky është një kërcënim për sigurinë e universit, një sinjal i tillë do të thyejë harkun qiellor dhe të rushes në pafundësi ndaj yjeve (Figura 2b)! Shkurtimisht, matematika thotë se derivat i sinjalit të modifikuar menjëherë është i barabartë me pafundësinë, dhe meqenëse Infinity është vlera ideale dhe e paarritshme, atëherë në botën reale një operacion i tillë nuk ka kuptim. Përndryshe, ata thonë se një operacion i tillë nuk është i zbatuar fizikisht. Në përgjithësi, p në formë të pastër nuk zbatohet, por përdoret vetëm në përbërjen e shprehjeve më komplekse, ku ky P është kompensuar disi.

Figura 2 - Integrimi dhe diferencimi i sinjalit

Tani që ne e dimë për raportin e sinjalit të prodhimit në input dhe operatorin e laplace, ne mund të vazhdojmë me një koncept të tillë si një raport veshje. Në fakt, raporti i ingranazhit, i shkruar si W (P), është raporti i prodhimit / inputit. Sistemi i regjistruar përmes funksioneve të transferimit është më pamore dhe mund të zbatohen më shumë ose më pak metoda të thjeshta të analizës dhe sintezës. Por më vonë, dhe tani ne do të shqyrtojmë në një shembull të lehtë, si janë marrë funksione të tilla.

Supozojmë se kemi një lidhje, proceset që ndodhin në të cilat përshkruhen nga ekuacioni i mëposhtëm:

Në të majtë, vlera e prodhimit (dhe derivativi i saj), inputet e duhur (në shprehje komplekse mund të rrjedhin edhe). T - disa kohë konstante, K është një lloj koeficienti. Tani ne prodhojmë një zëvendësim për operatorin e laplace:

Siç ishte mbi, raporti i marshit është i barabartë me mënyrën e daljes / hyrjes:

Kështu kemi një raport të shpejtësisë së nivelit inercial të rendit të parë. Ka disa lidhje tipike në TAU (duke përfshirë edhe këtë), nga e cila mund të bëhet çdo sistem, çdo lloj kompleksiteti. Tani vërejmë vetëm se funksionet e transferimit në varësi të urdhrave të numeratorit dhe emëruesit mund të jenë të sakta dhe të pasakta. Funksioni i mësipërm është i saktë, gjithashtu thonë rreptësisht të sakta, sepse rendi i emëruesit është më i madh se rendi i numrit. Dhe kjo është e mirë, zbatohet. Më poshtë është një tjetër palë e funksioneve.

Funksioni i tipit 1 është gjithashtu i saktë, por jo rreptësisht. Shkalla e numeratorit është e barabartë me shkallën e emëruesit, por asgjë e tmerrshme, është zbatuar gjithashtu. Por funksioni si 2 nuk është realizuar në bazë të pranisë së një sheshi në numërator dhe mungesës së një sheshi ose një shkallë më të lartë në emërues, domethënë, në këtë rast do të ketë një derivativ të noompensuar. Kështu, për rendin në funksionet e transferimit është e nevojshme për të ndjekur rreptësisht!

Laplas

Operatori i Laplace përcaktohet nga shprehja

dhe në sistemin e koordinatave kartezias përshkruhet nga formula

Ne e gjejmë shprehjen për operatorin e laplace në sistemin e koordinimit ortogonal të kafkanit. Për ta bërë këtë, shkruani gradientin dhe divergjencën në sistemin e koordinatës së Curvilinear

Duke zëvendësuar këto shprehje në operatorin e laplace, ne marrim

Shembull 1. Gjeni shprehjen për operatorin e laplace në sistemin e koordinatave cilindrike.

Shënim 1. Operatori i Laplace në sistemin e koordinatave polare përcaktohet nga formula

Shembull 2. Gjeni shprehjen për operatorin e laplace në një sistem koordinativ sferik.

Vendimi. Duke zëvendësuar vlerat e koeficientëve të çalë, marrim

Ekuacioni i laplas

Ekuacioni i Laplace quhet ekuacioni i specieve.

Ky ekuacion quhet ekuacioni i një lloji eliptik. Shpesh gjendet në detyrat që lidhen me përcaktimin e potencialit të fushave të ndryshme të palëvizshme. Në veçanti, detyra e përcaktimit të fushës së temperaturës, potencialet elektrike, streset elastike dhe deformimet lidhet me zgjidhjen e ekuacionit të laplace. Vini re se ekuacionet e tipit hiperbolik dhe parabolik janë gjithashtu të studiuara në fizikën matematikore.

Ka shumë metoda të ndryshme të zgjidhjes së ekuacioneve të një lloji eliptik. Midis tyre, ju mund të zgjidhni metodën e ndarjes së variablave, metodën e funksionit të burimit, teorinë e potencialit, metodën e funksioneve analitike dhe shumë të tjerë. Konsideroni disa detyra të thjeshta që nuk lidhen me përdorimin e metodave të veçanta.

Simetri cilindrike. Ne do të gjejmë zgjidhjen e ekuacionit të laplace për një funksion me simetri cilindrike, i.E. pavarësisht nga këndi polar dhe variable z. Në këtë rast, ekuacioni i laplace i regjistruar në sistemin e koordinatave cilindrike ka formën

Derivatet private zëvendësohen këtu të plotë. Nga ky ekuacion vijon

ku dhe - konstante arbitrare që mund të gjenden nga kushtet kufitare.

Simetri sferike. Ne gjejmë zgjidhjen e ekuacionit të laplace për një funksion me simetri sferike, i.E. pavarësisht nga qoshet dhe. Në këtë rast, ekuacioni i laplace i regjistruar në një sistem koordinativ sferik ka formën

Është e lehtë për të gjetur një zgjidhje për këtë ekuacion

Zgjidhja e ekuacionit të Poisson do të marrë parasysh shembuj të veçantë.

Shembull 1. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit Poisson brenda Rregjistrimit të Rregjistrimit nëse

Vendimi. Funksioni i dëshiruar ka një simetri cilindrike, kështu që ne do të shkruajmë ekuacionin poisson në sistemin e koordinatave cilindrike në formë

Le të vendosë këtë ekuacion

gradient Curvilinear LAME diferenciale

Të përhershme dhe të gjejnë nga gjendja kufitare dhe kushtet e funksionit të kufizuar. Duke pasur parasysh se ne marrim. Nga gjendja që marrim

Prandaj, ne kemi një përgjigje përfundimtare.

Operatori i Laplace është një operator diferencial që vepron në një hapësirë \u200b\u200blineare të funksioneve të qetë dhe një simbol të treguar. Funksionet f e pranon funksionin

Operatori i Laplace është ekuivalent me ngritjen e qëndrueshme të operacioneve të gradientit dhe të divergjencës.

Gradienti - vektori që tregon drejtimin e rritjes së duhur në një madhësi, vlera e të cilit ndryshon nga një pikë e hapësirës në një fushë tjetër (fushë skalare). Për shembull, nëse merreni si lartësia e sipërfaqes së tokës mbi nivelin e detit, gradienti i saj në çdo pikë do të tregojë "drejtimin e heqjes së steeper". Madhësia (moduli) i vektorit të gradientit është i barabartë me normën e rritjes në këtë drejtim. Për rastin e hapësirës tre-dimensionale, gradienti është një funksion i vektorit me komponentët, ku - disa funksion skalar të koordinatave x, y, z.

Nëse - funksion i funksionit n, atëherë gradienti i saj quhet vektor n-dimensional

Komponentët e të cilave janë të barabarta me derivatet private në të gjitha argumentet e saj. Gradienti është caktuar grad, ose duke përdorur operatorin e quajtur,

Nga përkufizimi i gradientit rrjedh se:

Kuptimi i gradientit të çdo funksioni skalar F është se produkti i saj skalar me një vektor të lëvizjes pafundësisht të vogël jep një diferencë të plotë të këtij funksioni me ndryshimin korrespondues në koordinatat në hapësirën në të cilën është përcaktuar, domethënë linear (në Rasti i pozitës së përgjithshme është pika kryesore) e ndryshimit f kur kompensohen nga. Duke aplikuar të njëjtën letër për t'iu referuar funksionit nga vektori dhe funksioni korrespondues nga koordinatat e tij, ju mund të shkruani:

Vlen të përmendet këtu se meqë formula e diferencës së plotë nuk varet nga lloji i koordinatave XI, domethënë nga natyra e parametrave X në përgjithësi, diferenca rezultuese është një invariant, domethënë Çdo transformim i koordinatës, dhe që nga DX është një vektor, atëherë gradienti, i llogaritur në mënyrën e zakonshme, rezulton të jetë një vektor covariant, domethënë, vektori i përfaqësuar në bazën e dyfishtë, e cila vetëm mund të japë një skalar me një të thjeshtë Përmbledhja e punëve të koordinatave të zakonshme (kontravariant), që është, vektori i shkruar në bazën e zakonshme.

Kështu, shprehja (në përgjithësi - për koordinatat arbitrare curvilinear) mund të jetë mjaft e saktë dhe invariante e regjistruar si:

Ose duke lënë mënjanë shumën e sundimit të Ajnshtajnit,

Divergjenca është një operator diferencial që pasqyron fushën e vektorit në Scalar (domethënë, operacioni i diferencimit, si rezultat i përdorimit të së cilës fusha e skalarit është marrë në fushën e vektorit), e cila përcakton (për çdo pikë), "sa shumë Fusha hyrëse dhe dalëse është e ndryshme nga lagja e ulët "(më saktësisht, sa është devijuar rryma hyrëse dhe dalëse).

Nëse marrim parasysh se rryma mund t'i atribuohet një shenjë algjebrike, atëherë nuk ka nevojë të marrë parasysh rrjedhat hyrëse dhe dalëse veç e veç, gjithçka do të merret në konsideratë automatikisht kur të përmbledhim shenjën. Prandaj, ju mund të jepni një përkufizim më të shkurtër të divergjencës:

divergjenca është një operator diferencial në një fushë vektoriale që karakterizon rrjedhën e kësaj fushe përmes sipërfaqes së lagjes së ulët të secilës pikë të brendshme të zonës së definicionit në terren.

Operatori i divergjencës së aplikuar në fushën e F është shënuar si ose

Përkufizimi i divergjencës duket kështu:

ku FF është rrjedha e fushës së vektorit përmes sipërfaqes sferike të një zone s, e cila kufizon vëllimin e V. edhe më të përgjithshëm, dhe për këtë arsye është i përshtatshëm për përdorim, është përkufizimi kur forma e zonës me Sipërfaqja dhe volumi V lejohet. E vetmja kërkesë është themeli i saj brenda sferës nga një rreze, duke kërkuar zero. Ky përkufizim, në kontrast me të cituar më poshtë, nuk është i lidhur me koordinatat e caktuara, për shembull, për Cartesian, i cili mund të përfaqësojë lehtësi shtesë në raste të caktuara. (Për shembull, nëse zgjidhni mjedisin në formën e një kubike ose paralelepiped, formulat për koordinatat karteziane merren lehtësisht në paragrafin tjetër).

kështu, vlera e operatorit të laplace në atë pikë mund të interpretohet si dendësia burimore (kullimi) e fushës potenciale të vektorit të gradës në këtë pikë. Në sistemin e koordinatave karteziane, operatori i laplace shpesh përmendet si më poshtë se, në formën e një produkti skalar të operatorit bastisur.

Materiali Wikipedia - Enciklopedia e Lirë

Operatori i Laplace është ekuivalent me ngritjen e qëndrueshme të gradientit dhe operacioneve të divergjencës: $\backslash \backslash \; Delta\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; OperaTorname\; (Div)\; \backslash \backslash ,\; \backslash \backslash \; OperaTorname\; (grad)$Kështu, vlera e operatorit të laplace në atë pikë mund të interpretohet si dendësia burimore (rrjedhjet) e fushës së mundshme të vektorit $\backslash \backslash \; \backslash \backslash \; OperaTorname\; (grad)\; f$ Në këtë pikë. Në sistemin e koordinatave karteziane, operatori i laplace shpesh quhet si më poshtë. $\backslash \backslash \; Delta\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; nabla\; \backslash \backslash \; cdot\; \backslash \backslash \; nabla\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; nabla\; ^\; 2$ Kjo është, në formën e një produkti skalar të operatorit bastisur. Operatori i Laplace është simetrik.

Përkufizimi tjetër i operatorit të laplace

Operatori i Laplace është një përgjithësim i natyrshëm në funksionin e disa variablave të derivativit të dytë të zakonshëm të funksionit të një ndryshoreje. Në fakt, nëse funksioni $\backslash \backslash \; f\; (x)$ ka në lagjen e pikës $\backslash \backslash \; x\_0.$ Derivat i vazhdueshëm i dytë $\backslash \backslash \; F.$(x), si rrjedh nga formula e Taylor

$\backslash \backslash \; f\; (x\_0\; +\; r)\; \backslash u003d\; f\; (x\_0)\; +\; rf\; "(x\_0)\; +\; \backslash \backslash \; frac\; (r\; ^\; 2)\; (2)\; f$(x_0) + o (r ^ 2), për $r\; \backslash \backslash \; në\; 0,$, $\backslash \backslash \; f\; (x\_0-r)\; \backslash u003d\; f\; (x\_0)\; -RF\; "(x\_0)\; +\; \backslash \backslash \; frac\; (r\; ^\; 2)\; (2)\; f$(x_0) + o (r ^ 2), për $r\; \backslash \backslash \; në\; 0,$

derivati \u200b\u200bi dytë është kufiri

$\backslash \backslash \; F.$(x_0) \u003d \\ l \\ limits_ (r \\ në 0) \\ frac (2) (r ^ 2) \\ majtas \\ (\\ frac (f (x_0 + r) + f (x_0-r)) (2) -f (X_0) \\ drejtë \\).

Nëse kalon në funksion $\backslash \backslash \; F.$ nga $\backslash \backslash \; K.$ Variablat, shkoni në të njëjtën mënyrë, domethënë, për një pikë të caktuar $M\_0\; (x\_1\; ^\; 0,\; x\_2\; ^\; 0,\; ...,\; x\_k\; ^\; 0)$ konsideroj $\backslash \backslash \; K.$ - lagja e topit. $\backslash \backslash \; Q\_r.$ Radius $\backslash \backslash \; R.$ dhe dallimi në mes të aritmetikës së mesme

$\backslash \backslash \; \backslash \backslash \; Frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; sigma\; (s\_r))\; \backslash \backslash \; int\; \backslash \backslash \; limits\_\; (s\_r)\; fd\; \backslash \backslash \; sigma$

funksione $\backslash \backslash \; F.$ ne kufi $\backslash \backslash \; S\_r.$ Një lagje e tillë me një zonë kufitare $\backslash \backslash \; sigma\; (s\_r)$ dhe kuptimin $\backslash \backslash \; F\; (m\_0)$ Në qendër të kësaj lagjeje $\backslash \backslash \; M\_0.$, pastaj në rastin e vazhdimësisë së funksioneve të dyta private të nxjerra $\backslash \backslash \; F.$ në pikën përreth $\backslash \backslash \; M\_0.$ Vlera e laplaciana $\backslash \backslash \; \backslash \backslash \; Delta\; f$ Në këtë pikë ka një kufi

$\backslash \backslash \; \backslash \backslash \; Delta\; f\; (m\_0)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (r\; \backslash \backslash \; në\; 0)\; \backslash \backslash \; frac\; (2k)\; (r\; ^\; 2)\; \backslash \backslash \; majtas\; \backslash \backslash \; (\backslash \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; sigma\; (s\_r))\; \backslash \backslash \; int\; \backslash \backslash \; limits\_\; (s\_r\; )\; F\; (m)\; d\; \backslash \backslash \; sigma\; -f\; (m\_0)\; \backslash \backslash \; drejtë\; \backslash \backslash ).$

Njëkohësisht me pamjen e mëparshme për funksionet e operatorit të laplace $\backslash \backslash \; F.$Duke pasur derivatet e vazhdueshme të dytë, formulë të ndershme

$\backslash \backslash \; \backslash \backslash \; Delta\; f\; (m\_0)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (r\; \backslash \backslash \; në\; 0)\; \backslash \backslash \; frac\; (2\; (k\; +\; 2))\; (r\; ^\; 2)\; \backslash \backslash \; majtas\; \backslash \backslash \; (\backslash \backslash \; frac\; (1)\; (omega\; (q\_r))\; \backslash \backslash \; int\; \backslash \backslash \; limits\_\; (q\_r)\; f\; (m)\; d\; \backslash \backslash \; omega\; -f\; (m\_0)\; \backslash \backslash \; drejtë\; \backslash \backslash ),$ Ku $\backslash \backslash \; \backslash \backslash \; omega\; (q\_r)$ - Vëllimi i lagjes $\backslash \backslash \; Q\_r.$

Kjo formulë shpreh lidhjen e drejtpërdrejtë të funksionit Laplacian me mesataren e vëllimit të saj në afërsi të kësaj pike.

Prova e këtyre formulave mund të gjenden, për shembull, në.

Kufijtë e mësipërm, në të gjitha rastet kur ato ekzistojnë, mund të shërbejnë si përkufizimi i funksionit të operatorit të laplace $\backslash \backslash \; F.$ Një përkufizim i tillë është i preferuar për përkufizimin e zakonshëm të Laplacian, që nënkupton ekzistencën e derivateve të dyta të funksioneve në shqyrtim dhe përkon me përkufizimin e zakonshëm në rast të vazhdimësisë së këtyre derivativëve.

Shprehjet për operatorin e laplace në sisteme të ndryshme të koordinatave të curvilinear

Në koordinatat arbitrare ortogonale ortogonale në hapësirën tre-dimensionale $q\_1,\; \backslash \backslash \; q\_2,\; \backslash \backslash \; q\_3$:

$\backslash \backslash \; Delta\; f\; (q\_1,\; \backslash \backslash \; q\_2,\; \backslash \backslash \; q\_3)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; operatorname\; (div)\; \backslash \backslash ,\; \backslash \backslash \; operatorname\; (grad)\; \backslash \backslash ,\; f\; (q\_1,\; \backslash \backslash \; q\_2,\; \backslash \backslash \; q\_3)\; \backslash u003d$ $\backslash u003d\; \backslash \backslash \; Frac\; (1)\; (h\_1h\_2h\_3)\; \backslash \backslash \; majtas\; [\backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshme)\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; q\_1)\; \backslash \backslash \; majtas\; (\backslash \backslash \; frac)\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; f)\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; q\_1)\; \backslash \backslash \; DREJTA)\; +\; \backslash \backslash \; Frac\; (\backslash \backslash \; pjesshëm)\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; q\_2)\; \backslash \backslash \; majtas\; (\backslash \backslash \; frac\; (h\_2)\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; f\_2)\; \backslash \backslash \; drejtë)\; +\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshme)\; (\backslash \backslash \; pjesshme)\; \backslash \backslash \; Majtas\; (\backslash \backslash \; frac\; (h\_1h\_2)\; (h\_3)\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; f)\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; q\_3)\; \backslash \backslash \; drejtë)\; \backslash \backslash \; drejtë],$ Ku $H\_i\; \backslash \backslash$ - Koeficientët e Lama.

Koordinatat cilindrike

Në koordinatat cilindrike jashtë $\backslash \backslash \; r\; \backslash u003d\; 0$:

$\backslash \backslash \; Delta\; F.$

\u003d (1 \\ mbi r) (\\ pjesshëm \\ mbi \\ pjesshëm r)

\\ Majtas (r (\\ pjesshme f \\ mbi \\ pjesshme r) \\ drejtë)

+ (\\ Pjesshëm ^ 2f \\ mbi \\ pjesshëm z ^ 2) + (1 \\ mbi r ^ 2) (\\ pjesshëm ^ 2 f \\ mbi \\ pjesshme \\ varphi ^ 2)

Koordinatat sferike

Në koordinatat sferike jashtë fillimit të referencës (në hapësirën tre-dimensionale):

$\backslash \backslash \; Delta\; F.$

\u003d (1 \\ mbi r ^ 2) (\\ pjesshëm \\ mbi \\ pjesshëm r)

\\ Majtas (r ^ 2 (\\ pjesshëm f \\ mbi \\ pjesshme r) \\ drejtë)

+ (1 \\ mbi r ^ 2 \\ mëkati ^ 2 \\ theta) (\\ pjesshëm ^ 2 f \\ mbi \\ pjesshme \\ varphi ^ 2)

$\backslash \backslash \; Delta\; F.$

\u003d (1 \\ mbi r) (\\ pjesshëm ^ 2 \\ mbi \\ pjesshme r ^ 2)

\\ Majtas (RF \\ drejtë)

+ (1 \\ mbi r ^ 2 \\ Sin \\ thata) (\\ pjesshme \\ mbi \\ pjesshme \\ theta)

\\ majtas (\\ mëkat \\ theta (\\ pjesshëm f \\ mbi \\ pjesshëm \\ pelleta) \\ drejtë)

+ (1 \\ mbi r ^ 2 \\ mëkati ^ 2 \\ theta) (\\ pjesshëm ^ 2 f \\ mbi \\ pjesshme \\ varphi ^ 2).

Nëse $\backslash \backslash \; F\; \backslash u003d\; f\; (r)$ në n.- Hapësirë \u200b\u200bdimensionale:

$\backslash \backslash \; Delta\; f\; \backslash u003d\; (d\; ^\; 2\; f\; \backslash \backslash \; mbi\; dr\; ^\; 2)\; +\; (n-1\; \backslash \backslash \; mbi\; r)\; (df\; \backslash \backslash \; mbi\; dr).$

Koordinatat parabolike

Në koordinatat parabolike (në hapësirë \u200b\u200btre-dimensionale) jashtë fillimit të referencës:

\\ Delta f \u003d \\ frac (1) (\\ sigma ^ (2) + \\ tau ^ (2)) \\ majtas [\\ frac (1) (\\ sigma) \\ frac (\\ pjesë) (\\ sitial \\ sigma) \\ majtas (\\ Sigma \\ frac (\\ pjesshëm \\ sigma) \\ drejtë) + \\ frac (1) (\\ tau) \\ frac (\\ pjesshme) (\\ pjesshme \\ tau) \\ majtas (\\ tau \\ frac (\\ Pjesërisht f) (\\ pjesshëm \\ tau) \\ drejtë) \\ drejtë] + \\ frac (1) (\\ sigma ^ 2 \\ tau ^ 2) \\ frac (\\ pjesshme ^ 2 f) (\\ pjesshëm \\ varphi ^ 2)

Koordinatat parabolike cilindrike

Në koordinatat e cilindrit parabolik jashtë fillimit të referencës:

$\backslash \backslash \; Delta\; f\; (u,\; v,\; z)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (c\; ^\; 2\; (u\; ^\; 2\; +\; v\; ^\; 2))\; \backslash \backslash \; majtas\; [\backslash \backslash \; frac\; ^\; 2\; f)\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; ^\; 2)\; +\; \backslash \backslash \; Frac\; (\backslash \backslash \; pjesshëm\; ^\; 2\; f)\; (\backslash \backslash \; pjesshëm\; v\; ^\; 2)\; \backslash \backslash \; drejtë]\; +\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshëm\; ^\; 2\; f)\; (\backslash \backslash \; pjesshëm\; z\; ^\; 2).$

Koordinatat e përgjithshme të Curvilinear dhe Hapësira e Rimanovëve

Lëreni një shumëllojshmëri të qetë $X.$ Sistemi i koordinatave lokale dhe $g\_\; (IJ)$ - Tensor metrik Riemanns $X.$, që është, metrika ka formën

$ds\; ^\; 2\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; shuma\; ^\; n\_\; (i,\; j\; \backslash u003d\; 1)\; g\_\; (ij)\; dx\; ^\; idx\; ^\; j$ .

Tregojnë $g\; ^\; (ij)$ Elementet e matricës $(G\_\; (IJ))\; ^\; (-\; 1)$ dhe

$g\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; OperaTorname\; (det)\; g\_\; (ij)\; \backslash u003d\; (\backslash \backslash \; operatorname\; (det)\; g\; ^\; (ij))\; ^\; (-\; 1)$.

Divergjenca e fushës vektoriale $F.$të përcaktuara nga koordinatat $F\; ^\; I.$ (dhe përfaqësojnë operatorin diferencial të rendit të parë $\backslash \backslash \; Sum\_i\; f\; ^\; i\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshme)\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; x\; ^\; i)$) në shumëfishtë X. Llogaritur nga formula

$\backslash \backslash \; OperaTorname\; (div)\; f\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (g))\; \backslash \backslash \; shuma\; ^\; n\_\; (i\; \backslash u003d\; 1)\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshme)\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; x\; ^\; i)\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (g)\; f\; ^\; i\; )$,

dhe komponentët e funksionit të gradientit f. - Sipas formulës

$(\backslash \backslash \; Nabla\; f)\; ^\; j\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; shuma\; ^\; n\_\; (i\; \backslash u003d\; 1)\; g\; ^\; (ij)\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshëm\; f)\; (\backslash \backslash \; pjesshëm\; x\; ^\; i).$

Operatori i Laplace - Beltrachi në $X.$:

$\backslash \backslash \; Delta\; f\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; operatorname\; (div)\; (\backslash \backslash \; nabla\; f)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (grt\; (grt\; (g))\; \backslash \backslash \; shuma\; ^\; n\_\; (i\; \backslash u003d\; 1)\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshme)\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; x\; ^\; i)\; \backslash \backslash \; I\; madh\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (g)\; \backslash \backslash \; shuma\; ^\; n\_\; (k\; \backslash u003d\; 1)\; g\; ^\; (IK)\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; f)\; (\backslash \backslash \; pjesshme\; x\; ^\; k)\; \backslash \backslash \; BIG).$

Vlerë $\backslash \backslash \; Delta\; F.$ Është një skalar, domethënë, nuk ndryshon kur konverton koordinatat.

Aplikacion

Me këtë operator, është i përshtatshëm për të regjistruar laplace, ekuacionet poisson dhe ekuacionin e valës. Në fizikë, operatori i laplace është i zbatueshëm në elektrostatikë dhe elektrodinamikë, mekanikë kuantike, në shumë ekuacione të fizikës së mediave të ngurta, si dhe kur studiojnë ekuilibrin e membranës, filmat ose sipërfaqet e fazës së sipërfaqes (shih presionin e Laplasovës), në difuzionin stacionar dhe përçueshmëri Detyrat, të cilat ne reduktohen, në një kufi të vazhdueshëm, në ekuacionet e zakonshme të Laplace ose Poisson ose për disa përgjithësime.

Variacionet dhe përgjithësimet

• Operatori d'Alembert është një përgjithësim i operatorit të laplace për ekuacionet hiperbolike. Përfshin për herë të dytë derivativin.
• Operatori vektor i laplas është një përgjithësim i operatorit të laplace në rast të një argumenti vektorial.

Shiko gjithashtu

Shkruani një përmbledhje në lidhje me artikullin "Operatori i Laplace"

Letërsi

Lidhje

Eksperti që karakterizon operatorin e laplace

Martesa në një nuse të pasur në Shën Petersburg dështoi në Boris dhe ai erdhi në Moskë për të njëjtin qëllim. Në Moskë, Boris ishte në pavendosmëri midis dy nuseve më të pasura, Juli dhe Princi Marya. Edhe pse Princesha Mya, pavarësisht nga urgjenca e tij dhe i dukej atij juli tërheqës, për disa arsye ai ishte i vështirë për t'u kujdesur për Bolkon. Në datën e fundit me të, në emër të princit të vjetër, për të gjitha përpjekjet e tij për të folur me të për ndjenjat, ajo iu përgjigj atij nefple dhe padyshim nuk e dëgjoi atë.
Juli, në të kundërtën, megjithëse të veçantë, një në mënyrën e saj të veçantë, por me dëshirë e mori me dëshirë.
Jules ishin 27 vjeç. Pas vdekjes së vëllezërve të tij, ajo u bë shumë e pasur. Ajo tani ishte plotësisht e shëmtuar; Por mendova se ajo nuk ishte vetëm aq e mirë, por ishte ende shumë më tërheqëse sesa ishte më parë. Në këtë mashtrim, ajo u mbështet nga fakti se në të parën u bë një nusja shumë e pasur, dhe së dyti, fakti që më i vjetër ajo u bë, aq më e sigurt për burrat, më të lirë ishin burrat për ta trajtuar atë dhe, pa marrë Mbi vete asnjë detyrim, përdorin darka, mbrëmje dhe një shoqëri të gjallë që u shoqërua nga ajo. Një burrë që mori dhjetë vjet më parë do të kishte frikë të shkonte çdo ditë në shtëpinë ku kishte një grua të re 17-vjeçare, në mënyrë që të mos e kompromentonte atë dhe të mos lidhej, tani shkoi në të saj të guximshme çdo ditë dhe u kthye me të Jo si një nuse shkëlqim, por si me të njohur, duke mos pasur marrëdhënie seksuale.
Shtëpia e Karaginës ishte kjo dimër në Moskë, shtëpia më e këndshme dhe mikpritëse. Përveç mbrëmjeve dhe darkave të ftuara, Karagina ka mbledhur një shoqëri të madhe, sidomos burra që kanë 12 metra gjatë natës dhe ulur deri në orën e 3-të. Nuk kishte asnjë top, një shëtitje, teatër që do të humbasë Julie. Tualetet e saj ishin gjithmonë më në modë. Por, pavarësisht kësaj, Julie dukej i zhgënjyer në çdo gjë, ai tha për çdo gjë që ajo nuk besonte në miqësi, as në dashuri, as në çfarë gëzimi të jetës dhe në pritje të vetëm atje. Ajo mësoi tonin e vajzës që pësoi një zhgënjim të madh, vajzat, sikur të humbnin një të dashur ose të mashtruar mizorisht prej tyre. Megjithëse asgjë nuk ndodhi me të, ata e shihnin atë, si në të tilla, dhe ajo vetë besonte se ajo vuajti shumë në jetë. Kjo melankolik, i cili nuk ndërhyri me argëtim, nuk ndërhynte me të rinjtë e saj kishin një kohë të këndshme për të kaluar kohë. Çdo mysafir, që vjen tek ata, dha detyrën e tij për disponimin melankolik të zonjës dhe më pas të angazhuar në biseda të lehta, vallëzime dhe lojëra mendore, dhe turne Burim, të cilët ishin në modë me Karaxhinën. Vetëm disa të rinj, përfshirë Boris, ishin më të zhytur në disponimin melankolik të Julie, dhe me këta të rinj, ajo kishte biseda më të gjata dhe të izoluara për kotësinë e të gjithë botës dhe ata hapën albumet e tyre të shkruara nga imazhe të trishtuara, thënie dhe ajete .