Fonksiyonları entegre ederken değişken değiştirme yöntemi. Değişken yöntemini değiştirerek entegrasyon (ikame yöntemi)

Yöntem aşağıdaki formüle dayanmaktadır: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, burada x = j(t), söz konusu aralıkta türevi alınabilen bir fonksiyondur.

Kanıt. Formülün sol ve sağ taraflarından t değişkenine göre türevleri bulalım.

Sol tarafta ara argümanı x = j(t) olan karmaşık bir fonksiyonun olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, bunun t'ye göre türevini almak için, önce integralin x'e göre türevini alırız, sonra ara argümanın t'ye göre türevini alırız.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

Sağ taraftan türev:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Bu türevler eşit olduğundan, Lagrange teoreminin doğal sonucu olarak, ispatlanan formülün sol ve sağ tarafları belirli bir sabit kadar farklılık gösterir. Belirsiz integrallerin kendileri belirsiz bir sabit terime kadar tanımlandığından, bu sabit son gösterimden çıkarılabilir. Kanıtlanmış.

Başarılı bir değişken değişikliği, orijinal integrali basitleştirmenize ve en basit durumlarda onu tablo haline getirmenize olanak tanır. Bu yöntemin uygulanmasında doğrusal ve doğrusal olmayan ikame yöntemleri arasında bir ayrım yapılır.

a) Bir örnek kullanarak doğrusal ikame yöntemini ele alalım.

Örnek 1.. t = 1 – 2x olsun, o zaman

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Yeni değişkenin açıkça yazılmasına gerek olmadığı unutulmamalıdır. Bu gibi durumlarda, bir fonksiyonun diferansiyel işareti altında dönüştürülmesinden veya sabitlerin ve değişkenlerin diferansiyel işareti altına alınmasından söz edilir. O örtülü değişken değiştirme.

Örnek 2.Örneğin òcos(3x + 2)dx'i bulalım. Diferansiyelin özelliklerine göre
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), o zaman òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

Ele alınan her iki örnekte de integralleri bulmak için doğrusal ikame t = kx + b (k ¹ 0) kullanıldı.

Genel durumda aşağıdaki teorem geçerlidir.

Doğrusal ikame teoremi. F(x), f(x) fonksiyonunun bir terstürevi olsun. O halde òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, burada k ve b bazı sabitlerdir, k ¹ 0.

Kanıt.

İntegralin tanımı gereği, òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. İntegral işaretinin dışındaki k sabit faktörünü alalım: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Şimdi eşitliğin sol ve sağ taraflarını k'ye bölebilir ve kanıtlanacak ifadeyi elde edebiliriz. sabit terimin belirlenmesine kadar.

Bu teorem, ò f(x)dx = F(x) + C integralinin tanımında x argümanı yerine (kx + b) ifadesini koyarsak, bunun ek bir ifadenin ortaya çıkmasına yol açacağını belirtir. antiderivatifin önündeki faktör 1/k.

Kanıtlanmış teoremi kullanarak aşağıdaki örnekleri çözüyoruz.

Örnek 3.

Hadi bulalım. Burada kx + b = 3 – x, yani. k = -1, b = 3. O halde

Örnek 4.

Hadi bulalım. Burada kx + b = 4x + 3, yani. k = 4, b = 3. O zaman

Örnek 5.

Hadi bulalım. Burada kx + b = -2x + 7, yani. k = -2, b = 7. O halde

.

Örnek 6. Hadi bulalım. Burada kx + b = 2x + 0, yani. k = 2, b = 0.

.

Elde edilen sonucu ayrıştırma yöntemiyle çözülen örnek 8 ile karşılaştıralım. Aynı problemi farklı bir yöntem kullanarak çözerek cevabı bulduk . Sonuçları karşılaştıralım: . Dolayısıyla bu ifadeler birbirlerinden sabit bir terimle farklılık gösterir; Alınan cevaplar birbiriyle çelişmemektedir.

Örnek 7. bulacağız . Paydada bir tam kare seçelim.

Bazı durumlarda, bir değişkeni değiştirmek, integrali doğrudan tablo haline getirmez, ancak çözümü basitleştirerek genişletme yönteminin bir sonraki adımda kullanılmasını mümkün kılar.

Örnek 8. Mesela bulalım. t = x + 2'yi değiştiririz, sonra dt = d(x + 2) = dx. Daha sonra

burada C = C 1 – 6 (t yerine (x + 2) ifadesini değiştirirken, ilk iki terim yerine ½x 2 -2x – 6 elde ederiz).

Örnek 9. Hadi bulalım. t = 2x + 1 olsun, o zaman dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.

t'nin yerine (2x + 1) ifadesini koyalım, parantezleri açıp benzerlerini verelim.

Dönüşüm sürecinde başka bir sabit terime geçtiğimizi unutmayın, çünkü dönüşüm süreci sırasında sabit terimler grubu çıkarılabilir.

b) Bir örnek kullanarak doğrusal olmayan ikame yöntemini ele alalım.

Örnek 1.. t = - x 2 olsun. Daha sonra, x t cinsinden ifade edilebilir, ardından dx için bir ifade bulunabilir ve istenen integralde bir değişken değişikliği uygulanabilir. Ancak bu durumda işleri farklı yapmak daha kolaydır. dt = d(-x 2) = -2xdx'i bulalım. xdx ifadesinin istenen integralin integralinin bir faktörü olduğuna dikkat edin. Bunu elde edilen xdx = - ½ dt eşitliğinden ifade edelim. Daha sonra

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2. Hadi bulalım. t = 1 - x 2 olsun. Daha sonra

Örnek 3. Hadi bulalım. t = olsun. Daha sonra

Örnek 4. Doğrusal olmayan ikame durumunda, örtülü değişken ikamesinin kullanılması da uygundur.

Mesela bulalım. xdx = yazalım
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (örtük olarak t = 3 - 2x 2 değişkeni ile değiştirilmiştir). Daha sonra

Örnek 5. bulacağız . Burada ayrıca diferansiyel işaretinin altına bir değişken ekliyoruz: (örtük değiştirme t = 3 + 5x 3). Daha sonra

Örnek 6. Hadi bulalım. O zamandan beri,

Örnek 7. Hadi bulalım. O zamandan beri

Çeşitli ikameleri birleştirmenin gerekli olduğu birkaç örneğe bakalım.

Örnek 8. bulacağız . İzin vermek
t = 2x + 1, bu durumda x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

Örnek 9. bulacağız . İzin vermek
t = x - 2 ise x = t + 2; dx = dt.

Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integralleri hesaplarken, problemin çözüm aşamalarını kesin olarak ayırt etmemek tercih edilir (integrandın terstürevini bulma, antiderivatifin artışını bulma). Özellikle değişken değişimi ve belirli bir integral için parçalara göre entegrasyon formüllerini kullanan bu yaklaşım, genellikle çözümün yazılmasını basitleştirmeyi mümkün kılar.

TEOREM. φ(t) fonksiyonunun [α,β], a=φ(α), β=φ(β) aralığında sürekli bir türevi olsun ve f(x) fonksiyonu x formunun her x noktasında sürekli olsun =φ(t), burada t[α,β].

O halde aşağıdaki eşitlik doğrudur:

Bu formüle belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme formülü denir.

Belirsiz integralde olduğu gibi, değişken değişikliği kullanmak integrali basitleştirmemize ve onu tablodaki bire/birlere yaklaştırmamıza olanak tanır. Üstelik belirsiz integralden farklı olarak bu durumda orijinal integral değişkenine dönmeye gerek yoktur. φ(t)=a ve φ(t)=b denklemlerinin t değişkenine çözüm olarak α ve β'nın yeni bir t değişkeni üzerindeki entegrasyon limitlerini bulmak yeterlidir. Uygulamada, bir değişkenin yerini değiştirirken, genellikle yeni değişkenin eskisine göre t=ψ(x) ifadesini belirterek başlarlar. Bu durumda, t değişkeni üzerindeki integralin sınırlarını bulmak basitleştirilmiştir: α=ψ(a), β=ψ(b).

Örnek 19. Hesaplama

t=2-x 2 koyalım. O zaman dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx ve xdx=-dt. Eğer x=0 ise t=2-0 2 =2 ve eğer x=1 ise o zaman t=2-1 2 =1 Dolayısıyla:

Örnek 20. Hesapla

Değişken değişimini kullanalım. Sonra ve. Eğer x=0 ise t=1, eğer x=5 ise t=4 olur. Değiştirmeyi gerçekleştirerek anlıyoruz.

Düşünmeye devam edelim genel durum– değişkenleri değiştirme yöntemi belirsiz integral.

Örnek 5

Örnek olarak dersin başında incelediğimiz integrali ele alalım. Daha önce de söylediğimiz gibi, integrali çözmek için tablo formülünü beğendik. ,

ve tüm meseleyi ona indirgemek istiyorum.

Değiştirme yönteminin arkasındaki fikir, karmaşık bir ifadeyi (veya bazı işlevleri) tek bir harfle değiştirin.

Bu durumda yalvarır:

Değiştirilecek en popüler ikinci harf mektuptur. z. Prensip olarak başka harfleri de kullanabilirsiniz, ancak yine de geleneklere bağlı kalacağız.

Ancak değiştirirken elimizde kalanlar dx! Muhtemelen birçok kişi yeni bir değişkene geçiş yapılırsa bunu tahmin etmiştir. T, o zaman yeni integralde her şey harfle ifade edilmelidir T ve diferansiyel dx hiç yer yok. Mantıksal sonuç şu ki dx gerek yalnızca bağlı olan bir ifadeye dönüşmekT.

Eylem aşağıdaki gibidir. Yerine birini seçtikten sonra, bu örnekte- yani diferansiyeli bulmamız gerekiyor dt.

Şimdi orantı kurallarına göre ifade ediyoruz. dx:

.

Böylece:

.

Ve bu zaten en tablo halindeki integraldir

(İntegral tablosu elbette değişken için de geçerlidir) T).

Son olarak geriye kalan tek şey ters değiştirme işlemini gerçekleştirmektir. Bunu hatırlayalım.

Ele alınan örneğin son tasarımı şöyle görünmelidir:

Değiştirmeyi yapalım: , o zaman

.

.

Simgenin herhangi bir matematiksel anlamı yoktur; ara açıklamalar için çözüme ara verdiğimiz anlamına gelir.

Bir defterde örnek hazırlarken ters değişimi basit bir kalemle işaretlemek daha iyidir.

Dikkat! Aşağıdaki örneklerde yeni bir değişkenin diferansiyelinin bulunması ayrıntılı olarak anlatılmayacaktır.

İlk çözümü hatırlayın:

Fark nedir? Temel bir fark yok. Aslında aynı şey.

Ancak görevin tasarlanması açısından bakıldığında, bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi çok daha kısadır.

Bir soru ortaya çıkıyor. İlk yöntem daha kısaysa neden değiştirme yöntemini kullanasınız ki? Gerçek şu ki, bir dizi integral için fonksiyonu diferansiyelin işaretine "sığdırmak" o kadar kolay değildir.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

.

Değiştirelim:

;

.

Gördüğünüz gibi, değiştirme sonucunda orijinal integral önemli ölçüde basitleştirildi - sıradan bir güç fonksiyonuna indirgendi. Değiştirmenin amacı budur - integrali basitleştirmek.

Tembel ileri düzey insanlar, fonksiyonu diferansiyel işaret altına alarak bu integrali kolayca çözebilirler:

Bir diğer husus da böyle bir çözümün elbette tüm öğrenciler için geçerli olmamasıdır. Ek olarak, zaten bu örnekte, bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yönteminin kullanımı Bir kararda kafa karışıklığı riskini önemli ölçüde artırır.

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun

Kontrol gerçekleştirin.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun.

.

Çözüm: Bir değişiklik yapıyoruz: .

.

Neye dönüşeceği henüz bilinmiyor xdx? İntegralleri çözerken zaman zaman şu hile ortaya çıkar: X aynı değişimden ifade edeceğiz:

.

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Cevap dersin sonundadır.

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun.

Elbette bazı insanlar arama tablosunun değişken değiştirme kuralına sahip olmadığını fark etti. Bu kasıtlı olarak yapıldı. Kural, yukarıdaki örneklerde açıkça görülmediğinden, açıklama ve anlamada karışıklık yaratacaktır.

Şimdi değişken ikame yöntemini kullanmanın temel önermesi hakkında konuşmanın zamanı geldi: integralin bazı işlevler içermesi gerekir ve türevi. Örneğin, gibi : .

F işlevler işin içinde olmayabilir, ancak farklı bir kombinasyon halinde olabilir.

Bu bakımdan integralleri bulurken sıklıkla türev tablosuna bakmanız gerekir.

İncelenen Örnek 10'da payın derecesinin paydanın derecesinden bir eksik olduğunu görüyoruz. Türev tablosunda dereceyi bir azaltan formülü buluyoruz. Ve bunun anlamı, eğer şu şekilde belirlersek T payda ise payın olma ihtimali yüksektir xdx iyi bir şeye dönüşecek:

Yenisiyle değiştirme: .

Bu arada, fonksiyonu diferansiyel işaret altına almak o kadar da zor değil:

Gibi kesirler için bu numaranın artık işe yaramayacağını belirtmekte fayda var (daha doğrusu, sadece değiştirme tekniğini uygulamak gerekmeyecek).

Derste bazı kesirlerin integralini almayı öğrenebilirsiniz. Karmaşık Kesirlerin İntegrasyonu. İşte aynı yöntemi kendiniz çözmek için birkaç tipik örnek daha.

Örnek 11

Belirsiz integrali bulun

Örnek 12

Belirsiz integrali bulun

Çözümler dersin sonunda.

Örnek 13

Belirsiz integrali bulun

.

Türev tablosuna bakıyoruz ve ark kosinüsümüzü buluyoruz: , çünkü integralimizde ark kosinüs ve onun türevine benzer bir şey var.

Genel kural:

İçin T fonksiyonun kendisini belirtiyoruz(ve onun türevi değil).

Bu durumda: . İntegralin geri kalan kısmının neye dönüşeceğini bulmak için kalır

Bu örnekte bulma D T Karmaşık bir fonksiyon olduğundan detaylı olarak yazalım:

Veya kısaca:

.

Orantı kuralını kullanarak ihtiyacımız olan kalanı ifade ederiz: .

Böylece:

Örnek 14

Belirsiz integrali bulun.

.

Bağımsız bir çözüm için bir örnek. Cevap çok yakın.

Dikkatli okuyucular trigonometrik fonksiyonlarla ilgili birkaç örneği ele aldığımızı fark edeceklerdir. Ve bu bir tesadüf değil, çünkü altında ve gelen integraller trigonometrik fonksiyonlar 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7 için ayrı dersler verilmektedir. Ayrıca aşağıda, bir değişkeni değiştirmek için bazı yararlı yönergeler verilmiştir; bu, belirli bir integralde ne tür bir değiştirme yapılması gerektiğinin her zaman ve hemen belli olmadığı kuklalar için özellikle önemlidir. Ayrıca bazı değiştirme türleri madde 7.2'de bulunabilir.

Daha deneyimli öğrenciler tipik bir değişime alışabilirler irrasyonel fonksiyonlara sahip integrallerde

Örnek 12: Çözüm:

Değiştirelim:

Örnek 14: Çözüm:

Değiştirelim:

Belirsiz bir integralde bir değişkenin değiştirilmesi. Diferansiyelleri dönüştürmek için formül. Entegrasyon örnekleri. Doğrusal ikame örnekleri.

Ayrıca bakınız: Belirsiz integral tablosu
Temel temel fonksiyonlar ve özellikleri

Değişken Değiştirme Yöntemi

Basit integralleri değerlendirmek ve bazı durumlarda daha karmaşık olanların hesaplamasını basitleştirmek için değişken değişiklikler kullanılabilir.

Değişken değiştirme yöntemi, orijinal entegrasyon değişkeninden (x olsun) t olarak gösterdiğimiz başka bir değişkene geçmemizdir. Bu durumda, x ve t değişkenlerinin bir x = x ilişkisi ile ilişkili olduğuna inanıyoruz.(T) veya t = t(X) .Örneğin, x = değil mi, x = günah, t =

2 x + 1

, vesaire. Görevimiz, x ile t arasında, orijinal integralin ya tablo halinde indirgeneceği ya da daha basit hale geleceği bir ilişki seçmektir. veya t = t Temel değişken değiştirme formülü Bu durumda, x ve t değişkenlerinin bir x = x ilişkisi ile ilişkili olduğuna inanıyoruz.İntegral işaretinin altındaki ifadeyi ele alalım. f olarak gösterdiğimiz integrandın çarpımından oluşur. veya t = t ve diferansiyel dx: .

Bir x = x ilişkisini seçerek yeni bir t değişkenine geçelim veya t = t. Bu durumda, x ve t değişkenlerinin bir x = x ilişkisi ile ilişkili olduğuna inanıyoruz..

O zaman f fonksiyonunu ifade etmeliyiz
.
ve t değişkeni boyunca diferansiyel dx.

İntegral fonksiyonunu ifade etmek için f
.

t değişkeni aracılığıyla, x değişkeni yerine seçilen x = x ilişkisini değiştirmeniz yeterlidir. veya t = t Diferansiyel dönüşüm şu şekilde yapılır:
,
Yani dx diferansiyeli, x'in t'ye göre türevi ile dt diferansiyelinin çarpımına eşittir. veya t = t Daha sonra
.

Uygulamada en yaygın durum, eski değişkenin fonksiyonu olarak yeni bir değişken seçerek değiştirme işlemi gerçekleştirdiğimiz durumdur: t = t
(1) ,
.
(2) ,
İntegral fonksiyonunun şu şekilde temsil edilebileceğini tahmin edersek

nerede

t'nin x'e göre türevidir, o zaman

Yani temel değişken değiştirme formülü iki biçimde sunulabilir.
.

burada x, t'nin bir fonksiyonudur.
;
;
.

Son örnekte, x entegrasyon değişkenine geçerken diferansiyelin aşağıdaki gibi dönüştürüldüğünü dikkate almanız gerekir:
.
Daha sonra
.

Bu örnek, ikame yoluyla entegrasyonun özünü yakalamaktadır. Yani bunu tahmin etmemiz gerekiyor
.
Bundan sonra integral tablo haline indirgenir.
.

Bu integrali aşağıdaki formülü kullanarak değişken değişikliği kullanarak değerlendirebilirsiniz: (2) . t = x koyalım 2+x.
;
;

.

Daha sonra

1) Değişken değişikliğine göre entegrasyon örnekleri
.
İntegrali hesaplayalım Bunu fark ediyoruz.

.
(günah x)' = çünkü x Burada t = yerine koymayı kullandık.

2) Değişken değişikliğine göre entegrasyon örnekleri
.
günah x

.
Bunu fark ediyoruz. Daha sonra.

3) Burada t = değişkenini değiştirerek entegrasyonu gerçekleştirdik.
.
günah x

arktan x 2 + 1 .

Haydi entegre olalım

.
Burada entegrasyon sırasında t = x değişkeni değiştirilir
Doğrusal ikameler
.

Belki de en yaygın olanı doğrusal ikamelerdir. Bu, formdaki bir değişkenin yerine geçer

t = balta + b, burada a ve b sabitlerdir. Böyle bir değiştirmeyle, diferansiyeller aşağıdaki ilişkiyle ilişkilendirilir:
.
Doğrusal ikamelerle entegrasyon örnekleri
.

A)İntegrali hesapla
.
Doğrusal ikamelerle entegrasyon örnekleri
Çözüm.
.
B)İntegrali bulun

.

Üstel fonksiyonun özelliklerini kullanalım. burada a ve b sabitlerdir. Böyle bir değiştirmeyle, diferansiyeller aşağıdaki ilişkiyle ilişkilendirilir:
.
Doğrusal ikamelerle entegrasyon örnekleri
2'de
.
- bu bir sabittir. İntegrali hesaplıyoruz.

.

C)İntegrali hesapla
.
Doğrusal ikamelerle entegrasyon örnekleri
Kesrin paydasındaki ikinci dereceden polinomu kareler toplamına indirgeyelim.

.
İntegrali hesaplıyoruz.

.
D)
.
Kökün altındaki polinomu dönüştürelim.
.
Değişken değiştirme yöntemini kullanarak entegrasyon yapıyoruz.

Daha önce formülü almıştık Buradan Bu ifadeyi değiştirerek son cevabı elde ederiz.

A

İntegralleri tablo halindekilere indirmenin yolları

Sizin için listeledik:

değişken değiştirme yöntemi;

parçalara göre entegrasyon yöntemi;

Doğrudan entegrasyon yöntemi

rasyonel kesirlerin integralleri için belirsiz integralleri tablo halinde temsil etme yöntemleri;

İrrasyonel ifadelerin integralleri için belirsiz integralleri tablo integralleri aracılığıyla temsil etme yöntemleri;

Trigonometrik fonksiyonların integralleri için belirsiz integralleri tablo halinde ifade etme yolları.

Bir güç fonksiyonunun belirsiz integrali

Üstel fonksiyonun belirsiz integrali

Ancak logaritmanın belirsiz integrali tablo şeklinde bir integral değildir, bunun yerine formül tablo şeklindedir: Trigonometrik Fonksiyonların Belirsiz İntegralleri: Sinüs, Kosinüs ve Tanjant İntegralleri Ters trigonometrik fonksiyonlara sahip belirsiz integraller Tablo formuna indirgeme

veya

doğrudan entegrasyon yöntemiİntegrali bulun

Doğrusal ikamelerle entegrasyon örnekleriİntegralin özelliklerini kullanalım ve bu integrali tablo haline getirelim.

Cevap.

Teknik olarak değişken değiştirme yöntemi belirsiz integral iki şekilde uygulanır:

– Bir fonksiyonun diferansiyel işareti altında toplanması. – Aslında değişkeni değiştirmek.

Bir fonksiyonu diferansiyel işaret altında toplamak

Örnek 2

Kontrol gerçekleştirin.

İntegral fonksiyonunu analiz edelim. Burada bir kesirimiz var ve payda doğrusal bir fonksiyondur (“X”in birinci kuvveti). İntegral tablosuna bakıyoruz ve en benzer şeyi buluyoruz: .

Fonksiyonu diferansiyel işaretin altına getiriyoruz:

Hangi kesirle çarpılacağını hemen bulmakta zorlananlar, farkı bir taslakta hızla ortaya çıkarabilir: . Evet, görünen o ki bu, hiçbir şeyin değişmemesi için integrali ile çarpmam gerektiği anlamına geliyor. Daha sonra tablo formülünü kullanıyoruz:

Muayene: Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru bulunmuştur.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Örnek olarak dersin başında incelediğimiz integrali aldım. Daha önce de söylediğimiz gibi, integrali çözmek için tablo formülünü beğendik. ve tüm meseleyi ona indirgemek istiyorum.

Değiştirme yönteminin arkasındaki fikir, karmaşık bir ifadeyi (veya bazı işlevleri) tek bir harfle değiştirin. Bu durumda kendini gösteriyor: Değiştirilecek en popüler ikinci harf, harftir. Prensip olarak başka harfleri de kullanabilirsiniz, ancak yine de geleneklere bağlı kalacağız.

Bu yüzden: Ama onu değiştirdiğimizde elimizde ! Muhtemelen birçok kişi, yeni bir değişkene geçiş yapılırsa, yeni integralde her şeyin harfle ifade edilmesi gerektiğini ve orada diferansiyele hiç yer olmadığını tahmin etmiştir. Mantıksal sonuç, ihtiyacınız olduğudur yalnızca bağlı olan bir ifadeye dönüşmek.

Eylem aşağıdaki gibidir. Bu örnekte yenisini seçtikten sonra farkı bulmamız gerekiyor. Farklılıklarla herkesin zaten dostluk kurduğunu düşünüyorum.

O zamandan beri

Diferansiyeli çözdükten sonra nihai sonucu olabildiğince kısa bir şekilde yeniden yazmanızı öneririm: Şimdi orantı kurallarına göre ihtiyacımız olanı ifade ediyoruz:

Sonuç olarak: Böylece: Ve bu zaten en tablosal integraldir (İntegral tablosu elbette değişken için de geçerlidir).

Son olarak geriye kalan tek şey ters değiştirme işlemini gerçekleştirmektir. Bunu hatırlayalım.

Hazır.

Ele alınan örneğin son tasarımı şöyle görünmelidir:

“

Değiştirelim:

“

Simgenin herhangi bir matematiksel anlamı yoktur; ara açıklamalar için çözüme ara verdiğimiz anlamına gelir.

Bir defterde örnek hazırlarken ters değişimi basit bir kalemle işaretlemek daha iyidir.

Dikkat! Aşağıdaki örneklerde diferansiyelin bulunması ayrıntılı olarak anlatılmayacaktır.

Şimdi ilk çözümü hatırlamanın zamanı geldi:

Fark nedir? Temel bir fark yok. Aslında aynı şey. Ancak görevin tasarlanması açısından bakıldığında, bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi çok daha kısadır. Bir soru ortaya çıkıyor. İlk yöntem daha kısaysa neden değiştirme yöntemini kullanasınız ki? Gerçek şu ki, bir dizi integral için fonksiyonu diferansiyelin işaretine "sığdırmak" o kadar kolay değildir.

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

Logaritmanın integralleri

Örnek 1

Belirsiz integrali bulun.

Klasik. Zaman zaman bu integral tablolarda bulunabilir ancak hazır bir cevabın kullanılması tavsiye edilmez çünkü öğretmenin bahar vitamini eksikliği vardır ve ağır bir şekilde küfredecektir. Çünkü söz konusu integral hiçbir şekilde tablo şeklinde değildir - parçalar halinde alınır. Biz karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözüme ara veriyoruz.

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanıyoruz:

Formül soldan sağa uygulanır

Sol tarafa bakıyoruz: . Açıkçası, bizim örneğimizde (ve dikkate alacağımız tüm diğer örneklerde) bir şeyin olarak ve bir şeyin de olarak belirtilmesi gerekiyor.

Söz konusu türdeki integrallerdeher zaman logaritma ile gösterilir.

Teknik olarak çözümün tasarımı şu şekilde uygulanıyor;

Yani logaritmayı şu şekilde gösterdik ve geri kalanı integral ifadesi.

Sonraki aşama: farkı bulun:

Diferansiyel türevle hemen hemen aynıdır; onu nasıl bulacağımızı önceki derslerde zaten tartışmıştık.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz. Entegre etmeniz gereken işlevi bulmak için sağ taraf düşük eşitlik:

Şimdi çözümümüzü açıyoruz ve formülün sağ tarafını oluşturuyoruz: . Bu arada, bazı notlarla birlikte son çözümün bir örneğini burada bulabilirsiniz:

Çalışmadaki tek nokta, faktörü logaritmadan önce yazmak geleneksel olduğundan hemen ve'yi değiştirmiş olmamdır.

Gördüğünüz gibi parçalara göre entegrasyon formülünü uygulamak, çözümümüzü esasen iki basit integrale indirgedi.

Bazı durumlarda lütfen unutmayın hemen sonra Formülün uygulanmasıyla, kalan integral altında mutlaka bir basitleştirme yapılması gerekir - söz konusu örnekte, integrali "x" e indirdik.

Hadi kontrol edelim. Bunu yapmak için cevabın türevini almanız gerekir:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru çözülmüştür.

Test sırasında ürün farklılaştırma kuralını kullandık: . Ve bu bir tesadüf değil.

Parçalara göre entegrasyon formülü ve formül– bunlar birbirinin tersi olan iki kuraldır.

Üstel bir polinomla çarpılan integraller

Genel kural: için

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Tanıdık bir algoritma kullanarak parçalara göre entegre oluyoruz:

İntegral konusunda zorluk yaşıyorsanız makaleye geri dönmelisiniz. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Yapabileceğiniz diğer tek şey cevabı değiştirmek:

Ancak hesaplama tekniğiniz çok iyi değilse, o zaman en karlı seçenek bir cevap bırakmak veya hatta

Yani son integral alındığında örnek çözülmüş sayılır. Bu bir hata olmayacaktır; öğretmenin sizden cevabı basitleştirmenizi isteyebileceği başka bir konudur.

Trigonometrik fonksiyonların integrallerinin bir polinomla çarpımı

Genel kural: içinher zaman bir polinomla gösterilir

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun.

Parçalara göre integral alalım:

Hmmm, ...ve yorum yapacak bir şey yok.