ऑटोकॉरिलेशन दरम्यान रेडिओ सिग्नल मूल्यांमधील संबंध. स्वतंत्र सिग्नलचे सहसंबंध विश्लेषण

क्रॉस सहसंबंध कार्य (CCF) भिन्न सिग्नलचे (क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन, CCF) दोन सिग्नल्सच्या आकारातील समानतेची डिग्री आणि समन्वय (स्वतंत्र व्हेरिएबल) च्या बाजूने एकमेकांशी संबंधित त्यांच्या सापेक्ष स्थितीचे वर्णन करते. दोन भिन्न सिग्नल्स s(t) आणि u(t) च्या ऑटोकॉरिलेशन फंक्शनचे सामान्यीकरण सूत्र (6.1.1), आम्हाला सिग्नलचे खालील स्केलर उत्पादन मिळते:

B su () =s(t) u(t+) दि. (६.२.१)

सिग्नल्सचा क्रॉस-संबंध या सिग्नलद्वारे परावर्तित घटना आणि भौतिक प्रक्रियांचा एक विशिष्ट सहसंबंध दर्शवितो आणि जेव्हा वेगवेगळ्या उपकरणांमध्ये सिग्नलवर स्वतंत्रपणे प्रक्रिया केली जाते तेव्हा या नातेसंबंधाच्या "स्थिरतेचे" उपाय म्हणून काम करू शकते. मर्यादित उर्जेसह सिग्नलसाठी, VCF देखील मर्यादित आहे आणि:

|B su ()|  ||s(t)||||u(t)||,

जे कॉची-बुन्याकोव्स्की असमानता आणि निर्देशांक शिफ्टमधून सिग्नल मानदंडांचे स्वातंत्र्य यांचे अनुसरण करते.

t = t- हे फॉर्म्युला (6.2.1) मध्ये बदलताना, आम्हाला मिळते:

B su () = s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B us (-).

हे खालीलप्रमाणे आहे की VCF, B su ()  B su (-) साठी समानता स्थिती समाधानी नाही आणि VCF ची मूल्ये  = 0 वर कमाल असणे आवश्यक नाही.

तांदूळ.

हे अंजीर मध्ये स्पष्टपणे पाहिले जाऊ शकते. 6.2.1, जेथे 0.5 आणि 1.5 बिंदूंवर केंद्रांसह दोन समान सिग्नल दिले जातात.  च्या मूल्यांमध्ये हळूहळू वाढ करून सूत्रानुसार (6.2.1) गणना म्हणजे वेळ अक्ष (s1(t) च्या प्रत्येक मूल्यासाठी) सिग्नल s2(t) चे डावीकडे लागोपाठ शिफ्ट, मूल्ये s2(t+) एकात्मिक गुणाकारासाठी घेतले जातात). जेव्हा =0 सिग्नल्स ऑर्थोगोनल असतात आणि B 12 ()=0 चे मूल्य असते. जेव्हा सिग्नल s2(t) =1 मूल्याने डावीकडे हलवले जाते तेव्हा कमाल B 12 () दिसून येईल, ज्यावर सिग्नल s1(t) आणि s2(t+) पूर्णपणे एकत्र केले जातात.

(6.2.1) आणि (6.2.1") सूत्रांनुसार CCF ची समान मूल्ये सिग्नलच्या समान सापेक्ष स्थितीवर पाळली जातात: जेव्हा सिग्नल u(t) s च्या सापेक्ष मध्यांतराने हलविला जातो. (t) ऑर्डिनेट अक्षाच्या बाजूने उजवीकडे आणि सिग्नल s(t) सिग्नल u(t) डावीकडे सापेक्ष, म्हणजे B su () = B us (-

सिग्नल s(t) आणि u(t) वेळेच्या स्थानावर एकसारखे आहेत आणि सिग्नलचे "ओव्हरलॅप" चे क्षेत्रफळ जास्तीत जास्त =0 आहे, जे फंक्शन B su द्वारे निश्चित केले आहे. त्याच वेळी, फंक्शन B su तीव्रपणे असममित आहे, कारण सममितीय आकार s(t) (सिग्नलच्या केंद्राशी संबंधित) साठी असममित सिग्नल आकार u(t) सह, चे "ओव्हरलॅप" क्षेत्र शिफ्टच्या दिशेनुसार सिग्नल वेगळ्या पद्धतीने बदलतात (शून्य वरून मूल्य वाढते म्हणून  चे चिन्ह). जेव्हा सिग्नल u(t) ची प्रारंभिक स्थिती ऑर्डिनेट अक्षाच्या बाजूने डावीकडे हलविली जाते (सिग्नल s(t) - सिग्नल v(t) च्या अगोदर), CCF चा आकार अपरिवर्तित राहतो आणि उजवीकडे सरकतो. त्याच शिफ्ट मूल्यानुसार - अंजीर मध्ये फंक्शन B sv. ६.२.२. जर आपण (6.2.1) मध्ये फंक्शन्सचे एक्सप्रेशन स्वॅप केले, तर नवीन फंक्शन B vs हे =0 च्या संदर्भात मिरर केलेले B sv फंक्शन असेल.

ही वैशिष्ट्ये विचारात घेऊन, एकूण CCF ची गणना, नियमानुसार, सकारात्मक आणि नकारात्मक विलंबांसाठी स्वतंत्रपणे केली जाते:

B su () = s(t) u(t+) दि. B us () = u(t) s(t+) दि. (६.२.१")

गोंगाट करणाऱ्या सिग्नलचा परस्पर संबंध . u(t) = s1(t)+q1(t) आणि v(t) = s2(t)+q2(t) दोन गोंगाटयुक्त सिग्नलसाठी, सूत्रे (6.1.13) व्युत्पन्न करण्याच्या तंत्राचा वापर करून ची प्रत बदलून सिग्नल s(t ) ते सिग्नल s2(t), खालील फॉर्ममध्ये क्रॉस-कॉरिलेशन फॉर्म्युला काढणे सोपे आहे:

B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)

(6.2.2) च्या उजव्या बाजूच्या शेवटच्या तीन पदांचा क्षय  वाढल्याने शून्यावर होतो. मोठ्या सिग्नल सेटिंग अंतरासाठी, अभिव्यक्ती खालील स्वरूपात लिहिली जाऊ शकते:

B uv () = B s 1 s 2 () +
+
+
. (6.2.3)

शून्य सरासरी आवाज मूल्ये आणि सिग्नलपासून सांख्यिकीय स्वातंत्र्यासह, खालील गोष्टी घडतात:

B uv () → B s 1 s 2 ().

स्वतंत्र सिग्नलचे VCF. ॲनालॉग सिग्नलच्या VCF चे सर्व गुणधर्म स्वतंत्र सिग्नलच्या VCF साठी देखील वैध आहेत, तर स्वतंत्र ACF साठी वर वर्णन केलेल्या स्वतंत्र सिग्नलची वैशिष्ट्ये देखील त्यांच्यासाठी वैध आहेत (सूत्र 6.1.9-6.1.12). विशेषत:, नमुने K च्या संख्येसह x(k) आणि y(k) सिग्नलसाठी t = const =1 सह:

Bxy(n) =
x k y k-n . (6.2.4)

पॉवर युनिट्समध्ये सामान्य केल्यावर:

Bxy(n) = x k y k-n 
. (6.2.5)

आवाजातील नियतकालिक सिग्नलचा अंदाज . ट्रायल आणि एरर वापरून, क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शनला कमाल मूल्यापर्यंत समायोजित करून "संदर्भ" सिग्नलसह क्रॉस-संबंधाने गोंगाटयुक्त सिग्नलचा अंदाज लावला जाऊ शकतो.

आवाजाच्या सांख्यिकीय स्वातंत्र्यासह u(k)=s(k)+q(k) सिग्नलसाठी → 0 q2(k)=0 वर सिग्नल पॅटर्न p(k) सह क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन (6.2.2) फॉर्म घेते:

B up (k) = B sp (k) + B qp (k) = B sp (k) + .

आणि तेव्हापासून → 0 जसजसे N वाढते, नंतर B वर (k) → B sp (k). अर्थात, p(k) = s(k) असताना B up (k) फंक्शनमध्ये कमाल असेल. टेम्प्लेट p(k) चा आकार बदलून आणि फंक्शन B up (k) वाढवून, एक इष्टतम आकार p(k) च्या स्वरूपात s(k) चा अंदाज मिळवू शकतो.

क्रॉस सहसंबंध गुणांक कार्य (VKF) हे सिग्नल s(t) आणि u(t) च्या समानतेच्या डिग्रीचे परिमाणवाचक सूचक आहे. ऑटोकॉरिलेशन गुणांकांच्या कार्याप्रमाणेच, त्याची गणना फंक्शन्सच्या केंद्रीत मूल्यांद्वारे केली जाते (क्रॉस-कोव्हेरिअन्सची गणना करण्यासाठी ते फंक्शन्सपैकी फक्त एक केंद्र करणे पुरेसे आहे), आणि मूल्यांच्या उत्पादनाप्रमाणे सामान्यीकृत केले जाते. मानक फंक्शन्स s(t) आणि v(t):

 su () = C su ()/ s  v . (६.२.६)

शिफ्टसह सहसंबंध गुणांकांची मूल्ये बदलण्यासाठी मध्यांतर  -1 (संपूर्ण उलट सहसंबंध) ते 1 (पूर्ण समानता किंवा शंभर टक्के सहसंबंध) पर्यंत बदलू शकते.  शिफ्टमध्ये, ज्यावर  su () ची शून्य मूल्ये पाहिली जातात, सिग्नल एकमेकांपासून स्वतंत्र असतात (असंबंधित). क्रॉस-कॉरिलेशन गुणांक आपल्याला सिग्नलमधील भौतिक गुणधर्म आणि त्यांची परिमाण विचारात न घेता, सिग्नल दरम्यान कनेक्शनची उपस्थिती स्थापित करण्यास अनुमती देतो.

फॉर्म्युला (6.2.4) वापरून मर्यादित लांबीच्या गोंगाटयुक्त स्वतंत्र सिग्नलच्या CCF ची गणना करताना, मूल्ये दिसण्याची शक्यता असते  su (n)| > १.

नियतकालिक सिग्नलसाठी, सीसीएफची संकल्पना सामान्यतः लागू केली जात नाही, त्याच कालावधीसह सिग्नल वगळता, उदाहरणार्थ, सिस्टमच्या वैशिष्ट्यांचा अभ्यास करताना इनपुट आणि आउटपुट सिग्नल.

सिग्नल सहसंबंध फंक्शन्स सिग्नलच्या आकारांचे अविभाज्य परिमाणवाचक मूल्यांकन आणि एकमेकांशी त्यांच्या समानतेची डिग्री यासाठी वापरली जातात.

सिग्नल्सची ऑटोकॉरिलेशन फंक्शन्स (ACF). (सहसंबंध कार्य, CF). मर्यादित उर्जेसह निर्धारक सिग्नलच्या संबंधात, ACF हे सिग्नल आकाराचे एक परिमाणात्मक अविभाज्य वैशिष्ट्य आहे, आणि सिग्नल s(t) च्या दोन प्रतींच्या उत्पादनाच्या अविभाज्यतेचे प्रतिनिधित्व करते, वेळ t नुसार एकमेकांच्या सापेक्ष स्थलांतरित होते:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.1)

या अभिव्यक्तीवरून खालीलप्रमाणे, ACF हे सिग्नलचे स्केलर उत्पादन आहे आणि शिफ्ट t च्या चल मूल्यावर कार्यात्मक अवलंबनात त्याची प्रत आहे. त्यानुसार, ACF मध्ये ऊर्जेचे भौतिक परिमाण असते आणि t = 0 वर ACF चे मूल्य थेट सिग्नल उर्जेच्या बरोबरीचे असते आणि ते जास्तीत जास्त शक्य असते (सिग्नलच्या परस्परसंवादाच्या कोनाचा कोसाइन 1 च्या बरोबरीचा असतो. ):

B s (0) = s(t) 2 dt = E s .

ACF कार्य सतत आणि सम आहे. नंतरचे व्हेरिएबल t = t-t अभिव्यक्तीमध्ये बदलून सत्यापित करणे सोपे आहे (2.4.1):

B s (t) = s(t) s(t-t) dt = s(t-t) s(t) dt = B s (-t).

समानता दिल्यास, ACF चे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व सहसा केवळ t च्या सकारात्मक मूल्यांसाठी केले जाते. +t साइन इन एक्स्प्रेशन (2.4.1) चा अर्थ असा की टी व्हॅल्यूज शून्यातून वाढत असताना, सिग्नल s(t+t) ची प्रत t अक्षाच्या बाजूने डावीकडे सरकते. सराव मध्ये, सिग्नल सामान्यत: 0-T पासून सकारात्मक वितर्क मूल्यांच्या मध्यांतरात देखील निर्दिष्ट केले जातात, जे गणितीय ऑपरेशन्ससाठी आवश्यक असल्यास, शून्य मूल्यांसह मध्यांतर वाढवणे शक्य करते. या संगणकीय मर्यादेत, युक्तिवाद अक्षासह सिग्नलची प्रत डावीकडे हलवणे अधिक सोयीचे आहे, म्हणजे. अभिव्यक्तीमध्ये फंक्शन s(t-t) चा वापर (2.4.1):

B s (t) = s(t) s(t-t) दि. (2.4.1")

मर्यादित सिग्नलसाठी शिफ्ट टी चे मूल्य जसजसे वाढत जाते, तसतसे त्याच्या प्रतसह सिग्नलचे तात्पुरते ओव्हरलॅप कमी होते आणि त्यानुसार, परस्पर क्रिया कोनाचे कोसाइन आणि संपूर्णपणे स्केलर उत्पादन शून्य होते:

उदाहरण.अंतराल (0,T) वर, A च्या बरोबरीचे मोठेपणा मूल्य असलेली आयताकृती नाडी दिली जाते.

जेव्हा नाडीची प्रत टी अक्षाच्या बाजूने उजवीकडे हलवली जाते, तेव्हा 0≤t≤T वर सिग्नल t ते T पर्यंतच्या अंतराने ओव्हरलॅप होतात. डॉट उत्पादन:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

नाडीची प्रत डावीकडे हलवताना, -T≤t वर<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

येथे |t| > T सिग्नल आणि त्याच्या प्रतला छेदनबिंदू नसतात आणि सिग्नलचे स्केलर उत्पादन शून्य असते (सिग्नल आणि त्याची बदललेली प्रत ऑर्थोगोनल बनते).

गणनेचा सारांश, आम्ही लिहू शकतो:

B s (t) = .

नियतकालिक सिग्नलच्या बाबतीत, ACF ची गणना एका कालावधीत T मध्ये केली जाते, स्केलर उत्पादनाची सरासरी आणि या कालावधीत त्याची बदललेली प्रत:

B s (t) = (1/T) s(t) s(t-t) दि.

t=0 वर, या प्रकरणात ACF चे मूल्य ऊर्जेच्या बरोबरीचे नसून T मध्यांतरातील सिग्नलच्या सरासरी पॉवरच्या बरोबरीचे असते. नियतकालिक सिग्नलचे ACF हे समान कालावधीचे T सह नियतकालिक कार्य देखील असते. , सिग्नलसाठी s(t) = A cos(w 0 t+j 0) T=2p/w 0 येथे आमच्याकडे आहे:

B s (t) = A cos(w 0 t+j 0) A cos(w 0 (t-t)+j 0) = (A 2 /2) cos(w 0 t).

लक्षात घ्या की प्राप्त परिणाम हार्मोनिक सिग्नलच्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर अवलंबून नाही, जे कोणत्याही नियतकालिक सिग्नलसाठी वैशिष्ट्यपूर्ण आहे आणि CF च्या गुणधर्मांपैकी एक आहे.

ठराविक अंतराने दिलेल्या सिग्नलसाठी, मध्यांतर लांबीच्या सामान्यीकरणासह ACF ची गणना देखील केली जाते:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.2)

मर्यादेत, अंतराल T वर ACF मापनासह नॉन-पीरियडिक सिग्नलसाठी:

B s (t) = . (2.4.2")

सिग्नलच्या ऑटोकॉरिलेशनचे मूल्यमापन ऑटोकॉरिलेशन गुणांकाद्वारे देखील केले जाऊ शकते, ज्याची गणना सूत्र वापरून केली जाते (केंद्रित सिग्नलवर आधारित):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.

क्रॉस सहसंबंध कार्य सिग्नल्सचे (सीसीएफ) (क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन, सीसीएफ) दोन भिन्न सिग्नलच्या शिफ्ट केलेल्या प्रतींच्या समानतेची डिग्री आणि समन्वय (स्वतंत्र व्हेरिएबल) सोबत त्यांची सापेक्ष स्थिती दर्शवते, ज्यासाठी समान सूत्र (2.4.1) वापरले जाते ACF साठी, परंतु इंटिग्रल अंतर्गत दोन भिन्न सिग्नलचे उत्पादन आहे, त्यापैकी एक वेळेनुसार बदलला जातो:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.4.3)

फॉर्म्युला (2.4.3) मध्ये t = t-t व्हेरिएबल बदलताना, आम्हाला मिळते:

B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

हे खालीलप्रमाणे आहे की CCF साठी समता स्थिती समाधानी नाही, आणि CCF मूल्यांना t = 0 वर जास्तीत जास्त असणे आवश्यक नाही. हे अंजीर मध्ये स्पष्टपणे पाहिले जाऊ शकते. 2.4.1, जेथे 0.5 आणि 1.5 बिंदूंवर केंद्रांसह दोन समान सिग्नल दिले जातात. फॉर्म्युला (2.4.3) वापरून टी व्हॅल्यूजमध्ये हळूहळू वाढ करणे म्हणजे सिग्नल s2(t) चे टाइम अक्ष (s1(t च्या प्रत्येक मूल्यासाठी), मूल्ये s2( च्या बाजूने डावीकडे सलग शिफ्ट करणे. t+t) एकात्मिक गुणाकारासाठी घेतले जातात).

सिग्नल आणि रेखीय प्रणाली. संकेतांचा सहसंबंध

विषय 6. सिग्नल सहसंबंध

कमालीची भीती आणि धाडसाची तीव्र इच्छा पोटात बिघडते आणि अतिसार होतो.

मिशेल माँटेग्ने. फ्रेंच वकील-विचारक, 16 वे शतक.

हा नंबर आहे! दोन फंक्शन्सचा तिसऱ्याशी 100% सहसंबंध आहे आणि ते एकमेकांशी ऑर्थोगोनल आहेत. बरं, जगाच्या निर्मितीच्या वेळी सर्वशक्तिमानाने विनोद केले होते.

अनातोली पिश्मिंटसेव्ह. 20 व्या शतकातील उरल शाळेचे नोवोसिबिर्स्क भूभौतिकशास्त्रज्ञ.

1. सिग्नल्सची ऑटोकॉरिलेशन फंक्शन्स. ऑटोकॉरिलेशन फंक्शन्स (ACFs) ची संकल्पना. वेळ-मर्यादित सिग्नलचे ACF. नियतकालिक सिग्नलचे ACF. ऑटोकोव्हेरियन्स फंक्शन्स (ACF). स्वतंत्र सिग्नलचे ACF. गोंगाटयुक्त सिग्नलचे ACF. कोड सिग्नलचे ACF.

2. सिग्नल्सचे क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन्स (CCF). क्रॉस कॉरिलेशन फंक्शन (CCF). गोंगाट करणाऱ्या सिग्नलचा परस्पर संबंध. आवाजातील नियतकालिक सिग्नलचा CCF. परस्पर सहसंबंध गुणांकांचे कार्य.

3. सहसंबंध कार्यांची वर्णक्रमीय घनता. ACF ची वर्णक्रमीय घनता. सिग्नल सहसंबंध मध्यांतर. व्हीकेएफची वर्णक्रमीय घनता. FFT वापरून सहसंबंध कार्यांची गणना.

परिचय

सहसंबंध, आणि केंद्रीत सिग्नलसाठी त्याचे विशेष प्रकरण - सहप्रसरण, ही सिग्नल विश्लेषणाची एक पद्धत आहे. आम्ही पद्धत वापरण्यासाठी पर्यायांपैकी एक सादर करतो. आपण असे गृहीत धरूया की एक सिग्नल s(t) आहे, ज्यामध्ये मर्यादित लांबीचा काही क्रम x(t) असू शकतो (किंवा नसू शकतो), ज्याची तात्पुरती स्थिती आपल्याला स्वारस्य आहे. सिग्नल s(t) च्या बाजूने सरकणाऱ्या T च्या टाइम विंडोमध्ये हा क्रम शोधण्यासाठी, सिग्नल s(t) आणि x(t) च्या स्केलर उत्पादनांची गणना केली जाते. अशा प्रकारे, आम्ही इच्छित सिग्नल x(t) सिग्नल s(t) वर "लागू" करतो, त्याच्या युक्तिवादावर सरकतो आणि स्केलर उत्पादनाच्या मूल्यानुसार आम्ही तुलनाच्या बिंदूंवर सिग्नलच्या समानतेच्या डिग्रीचा अंदाज लावतो.

परस्परसंबंध विश्लेषण सिग्नलमध्ये (किंवा सिग्नलच्या डिजिटल डेटाच्या मालिकेत) स्वतंत्र व्हेरिएबलवरील सिग्नल मूल्यांमधील बदलांमधील विशिष्ट कनेक्शनची उपस्थिती स्थापित करणे शक्य करते, म्हणजेच जेव्हा एका सिग्नलची मोठी मूल्ये (सापेक्ष सरासरी सिग्नल मूल्यांशी) दुसऱ्या सिग्नलच्या मोठ्या मूल्यांशी संबंधित आहेत (सकारात्मक सहसंबंध), किंवा, याउलट, एका सिग्नलची लहान मूल्ये दुसऱ्याच्या मोठ्या मूल्यांशी संबंधित आहेत (नकारात्मक सहसंबंध), किंवा डेटा दोन सिग्नल कोणत्याही प्रकारे संबंधित नाहीत (शून्य सहसंबंध).

सिग्नलच्या कार्यात्मक जागेत, कनेक्शनची ही डिग्री सहसंबंध गुणांकाच्या सामान्यीकृत युनिट्समध्ये व्यक्त केली जाऊ शकते, म्हणजे. सिग्नल वेक्टर्समधील कोनाच्या कोसाइनमध्ये, आणि त्यानुसार, 1 (सिग्नलचा पूर्ण योगायोग) पासून -1 (संपूर्ण विरुद्ध) पर्यंत मूल्ये घेतील आणि मापनाच्या युनिट्सच्या मूल्यावर (स्केल) अवलंबून नाही .

ऑटोकॉरिलेशन व्हर्जनमध्ये, सिग्नल s(t) चे स्केलर उत्पादन निर्धारित करण्यासाठी त्याच्या स्वतःच्या कॉपीसह युक्तिवादाच्या बाजूने सरकण्यासाठी समान तंत्र वापरले जाते. ऑटोकॉरिलेशन तुम्हाला सध्याच्या सिग्नलच्या नमुन्यांच्या मागील आणि त्यानंतरच्या मूल्यांवर (सिग्नल व्हॅल्यूजचा तथाकथित सहसंबंध त्रिज्या) वर सरासरी सांख्यिकीय अवलंबित्वाचा अंदाज लावू देते, तसेच सिग्नलमध्ये अधूनमधून पुनरावृत्ती होणाऱ्या घटकांची उपस्थिती ओळखू देते.

नॉन-यादृच्छिक घटक ओळखण्यासाठी आणि या प्रक्रियांच्या नॉन-यादृच्छिक पॅरामीटर्सचे मूल्यांकन करण्यासाठी यादृच्छिक प्रक्रियेच्या विश्लेषणामध्ये सहसंबंध पद्धतींना विशेष महत्त्व आहे.

लक्षात घ्या की "सहसंबंध" आणि "सहसंबंध" या शब्दांबाबत काही गोंधळ आहे. गणितीय साहित्यात, "कोव्हेरिअन्स" हा शब्द केंद्रीत फंक्शन्ससाठी आणि अनियंत्रित कार्यांना "सहसंबंध" लागू केला जातो. तांत्रिक साहित्यात, आणि विशेषत: सिग्नल आणि त्यांच्या प्रक्रियेच्या पद्धतींवरील साहित्यात, अचूक विरुद्ध शब्दावली वापरली जाते. हे मूलभूत महत्त्व नाही, परंतु साहित्यिक स्त्रोतांसह स्वत: ला परिचित करताना, या अटींच्या स्वीकृत हेतूकडे लक्ष देणे योग्य आहे.

२.६. निर्धारक संकेतांचे सहसंबंध-स्पेक्ट्रल विश्लेषण. रेडिओ अभियांत्रिकी सर्किट आणि सिग्नल. भाग I

२.६. निर्धारक संकेतांचे सहसंबंध-स्पेक्ट्रल विश्लेषण

अनेक रेडिओ अभियांत्रिकी समस्यांमध्ये, अनेकदा सिग्नल आणि त्याची प्रत, काही काळासाठी शिफ्ट केलेली तुलना करावी लागते. विशेषतः, ही परिस्थिती रडारमध्ये उद्भवते, जिथे लक्ष्यातून परावर्तित होणारी नाडी वेळेच्या विलंबाने रिसीव्हर इनपुटवर येते. या सिग्नलची एकमेकांशी तुलना, म्हणजे. प्रक्रियेदरम्यान त्यांचे संबंध प्रस्थापित केल्याने लक्ष्य हालचालीचे मापदंड निर्धारित करणे शक्य होते.

सिग्नल आणि त्याची टाइम-शिफ्टेड प्रत यांच्यातील नातेसंबंध मोजण्यासाठी, एक वैशिष्ट्य सादर केले जाते

ज्यास म्हंटले जाते स्वयंसंबंध कार्य(AKF).

ACF चा भौतिक अर्थ स्पष्ट करण्यासाठी, आम्ही एक उदाहरण देतो जेथे सिग्नल हा कालावधी आणि मोठेपणाचा आयताकृती नाडी आहे. अंजीर मध्ये. आकृती 2.9 एक नाडी, त्याची प्रत, वेळेच्या अंतराने आणि उत्पादन दर्शविते. साहजिकच, उत्पादनास एकत्रित केल्याने नाडीच्या क्षेत्राचे मूल्य मिळते, जे चे उत्पादन आहे. हे मूल्य, निश्चित केल्यावर, निर्देशांकातील एका बिंदूद्वारे दर्शविले जाऊ शकते. बदलताना, आम्हाला ऑटोकॉरिलेशन फंक्शनचा आलेख मिळेल.

चला एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ती शोधूया. कारण

नंतर ही अभिव्यक्ती (2.57) मध्ये बदलल्यास, आपल्याला मिळेल

तुम्ही सिग्नल डावीकडे हलवल्यास, तत्सम आकडेमोड वापरून ते दाखवणे सोपे आहे

नंतर (2.58) आणि (2.59) एकत्र करून, आपल्याला मिळेल

विचारात घेतलेल्या उदाहरणावरून, खालील महत्त्वाचे निष्कर्ष काढले जाऊ शकतात जे अनियंत्रित तरंगरूपांना लागू होतात:

1. नॉन-पीरियडिक सिग्नलचे ऑटोकॉरिलेशन फंक्शन वाढीसह कमी होते (इतर प्रकारच्या सिग्नलसाठी नीरसपणे आवश्यक नाही). अर्थात, ACF देखील शून्याकडे झुकते.

2. ACF त्याच्या कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचते. या प्रकरणात, ते सिग्नल उर्जेच्या बरोबरीचे आहे. अशा प्रकारे, ACF आहे ऊर्जासिग्नलचे वैशिष्ट्य. एखाद्याच्या अपेक्षेप्रमाणे, सिग्नल आणि त्याची प्रत पूर्णपणे परस्परसंबंधित (परस्पर जोडलेले) आहेत.

3. (2.58) आणि (2.59) च्या तुलनेवरून असे दिसून येते की ACF आहे सम कार्ययुक्तिवाद, म्हणजे

सिग्नलचे एक महत्त्वाचे वैशिष्ट्य आहे सहसंबंध मध्यांतर. सहसंबंध मध्यांतर हा वेळ मध्यांतर म्हणून समजला जातो ज्या दरम्यान सिग्नल आणि त्याची प्रत शिफ्ट केल्यावर असंबंधित होतात.

गणितीयदृष्ट्या, सहसंबंध मध्यांतर खालील अभिव्यक्तीद्वारे निर्धारित केले जाते

किंवा पासून सम कार्य आहे

अंजीर मध्ये. आकृती 2.10 एका अनियंत्रित वेव्हफॉर्मचे ACF दाखवते. जर तुम्ही सकारात्मक मूल्यांसाठी (वक्राची उजवी शाखा) वक्राखालील क्षेत्रफळाइतके क्षेत्रफळ असलेला आयत तयार केला, ज्याची एक बाजू समान असेल, तर दुसरी बाजू अनुरूप असेल.

आयताकृती नाडीसाठी सहसंबंध मध्यांतर शोधू. साध्या परिवर्तनानंतर (2.58) (2.60) मध्ये बदलून, आम्हाला मिळते:

अंजीर पासून खालीलप्रमाणे. २.९.

ऑटोकॉरिलेशन फंक्शनच्या सादृश्यतेने, दोन सिग्नलमधील संबंधांची डिग्री अंदाजित केली जाते क्रॉस सहसंबंध कार्य(VKF)

चला दोन सिग्नल्सचे क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन शोधू: मोठेपणा आणि कालावधी असलेली आयताकृती नाडी

आणि समान मोठेपणा आणि कालावधीची त्रिकोणी नाडी

(2.61) वापरून आणि स्वतंत्रपणे अविभाज्यांची गणना करून आणि, आम्हाला मिळते:

CCF ची गणना स्पष्ट करणारे ग्राफिक प्लॉट अंजीर मध्ये दर्शविले आहेत. २.११

येथे ठिपके असलेल्या रेषा त्रिकोणी नाडीची प्रारंभिक (वर) स्थिती दर्शवतात.

जेव्हा अभिव्यक्ती (2.61) चे (2.57) मध्ये रूपांतर होते. हे खालीलप्रमाणे आहे की ACF पूर्णपणे जुळणारे सिग्नल असलेले CCF चे एक विशेष प्रकरण आहे.

चला VKF चे मुख्य गुणधर्म लक्षात घेऊया.

1. ऑटोकॉरिलेशन फंक्शनप्रमाणेच, VCF हे वितर्काचे कमी होणारे कार्य आहे. जेव्हा VKF शून्याकडे झुकते.

2. अनियंत्रितपणे क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शनची मूल्ये ही मूल्ये आहेत परस्पर ऊर्जा(संवाद ऊर्जा) सिग्नल आणि.

3. जेव्हा क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन (ऑटोकॉरिलेशन फंक्शनच्या विपरीत) नेहमी जास्तीत जास्त पोहोचत नाही.

4. जर सिग्नलचे वर्णन वेळेच्या सम फंक्शन्सने केले असेल, तर CCF देखील सम आहे. जर कमीतकमी एका सिग्नलचे वर्णन विषम कार्याने केले असेल, तर CCF देखील विषम आहे. विरुद्ध ध्रुवीयतेच्या दोन आयताकृती डाळींच्या CCF ची गणना केल्यास पहिले विधान सिद्ध करणे सोपे आहे.

अशा सिग्नलचे क्रॉस कॉरिलेशन फंक्शन

युक्तिवादाचे सम कार्य आहे.

दुसऱ्या विधानासाठी, आयताकृती आणि त्रिकोणी डाळींचे CCF मोजण्याचे मानले गेलेले उदाहरण ते सिद्ध करते.

काही लागू समस्यांमध्ये, रेडिओ अभियंते सामान्यीकृत ACF वापरतात

आणि सामान्यीकृत VKF

सिग्नल्सची आंतरिक ऊर्जा कुठे आणि आहे. जेव्हा सामान्यीकृत व्हीकेएफचे मूल्य म्हटले जाते क्रॉस सहसंबंध गुणांक. जर , तर क्रॉस-सहसंबंध गुणांक

अर्थात, मूल्ये -1 ते +1 पर्यंत असतात. जर आपण (2.65) ची (1.32) बरोबर तुलना केली, तर आपण हे सत्यापित करू शकतो की क्रॉस-संबंध गुणांक व्हेक्टरमधील कोनाच्या कोसाइनच्या मूल्याशी आणि सिग्नलच्या भौमितिक प्रतिनिधित्वाशी संबंधित आहे.

वर चर्चा केलेल्या उदाहरणांसाठी क्रॉस-कॉरिलेशन गुणांक काढू. आयताकृती नाडी सिग्नलची ऊर्जा असल्याने

आणि त्रिकोणी नाडी

मग (2.62) आणि (2.65) नुसार क्रॉस-संबंध गुणांक समान असेल. दुसऱ्या उदाहरणाप्रमाणे, समान मोठेपणा आणि कालावधीच्या दोन आयताकृती डाळींसाठी, परंतु विरुद्ध ध्रुवीयता, .

प्रायोगिकरित्या, ACF आणि VCF डिव्हाइस वापरून मिळवता येतात, ज्याचा स्ट्रक्चरल आकृती अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. २.१२

ACF काढताना, गुणक इनपुटपैकी एकास सिग्नल पाठविला जातो आणि तोच सिग्नल दुसऱ्याला पाठविला जातो, परंतु थोडा वेळ विलंब होतो. उत्पादनाच्या प्रमाणात सिग्नल एकीकरण ऑपरेशनच्या अधीन आहे. इंटिग्रेटरच्या आउटपुटवर, एक व्होल्टेज व्युत्पन्न केला जातो जो एका निश्चित मूल्यावर ACF मूल्याच्या प्रमाणात असतो. विलंब वेळ बदलून, तुम्ही सिग्नलचा ACF तयार करू शकता.

प्रायोगिकरित्या VCF तयार करण्यासाठी, सिग्नल गुणक इनपुटपैकी एकाला दिले जाते आणि सिग्नल विलंब यंत्रास दिले जाते (इनकमिंग सर्किट्स डॉटेड लाइनमध्ये दर्शविल्या जातात). अन्यथा, डिव्हाइस त्याच प्रकारे कार्य करते. लक्षात घ्या की वर्णन केलेले उपकरण म्हणतात सहसंबंधकआणि सिग्नल प्राप्त करण्यासाठी आणि त्यावर प्रक्रिया करण्यासाठी विविध रेडिओ प्रणालींमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते.

आतापर्यंत, आम्ही मर्यादित ऊर्जा असलेल्या नॉन-पीरियडिक सिग्नल्सचे सहसंबंध विश्लेषण केले आहे. त्याच वेळी, अशा विश्लेषणाची आवश्यकता नियतकालिक सिग्नलसाठी उद्भवते, ज्यामध्ये सैद्धांतिकदृष्ट्या अमर्याद ऊर्जा असते परंतु मर्यादित सरासरी शक्ती असते. या प्रकरणात, ACF आणि CCF कालावधीच्या सरासरीने मोजले जातात आणि सरासरी शक्ती (अनुक्रमे स्वतःचे किंवा म्युच्युअल) चा अर्थ आहे. अशा प्रकारे, नियतकालिक सिग्नलचा ACF आहे:

आणि अनेक कालखंडांसह दोन नियतकालिक सिग्नलचे क्रॉस-संबंध कार्य:

कालावधीचे सर्वात मोठे मूल्य कुठे आहे.

चला हार्मोनिक सिग्नलचे ऑटोकॉरिलेशन फंक्शन शोधू

वर्तुळाकार वारंवारता कुठे आहे आणि प्रारंभिक टप्पा आहे.

ही अभिव्यक्ती (2.66) मध्ये बदलणे आणि ज्ञात त्रिकोणमितीय संबंध वापरून अविभाज्य गणना करणे:

विचारात घेतलेल्या उदाहरणावरून, खालील निष्कर्ष काढले जाऊ शकतात, जे कोणत्याही नियतकालिक सिग्नलसाठी वैध आहेत.

1. नियतकालिक सिग्नलचे ACF हे समान कालावधीसह नियतकालिक कार्य आहे.

2. नियतकालिक सिग्नलचे ACF हे तर्काचे सम कार्य आहे.

3. मूल्य सरासरी शक्ती दर्शवते जी 1 ओहमच्या प्रतिकाराने सोडली जाते आणि मोजलेले मूल्य असते.

4. नियतकालिक सिग्नलच्या ACF मध्ये सिग्नलच्या सुरुवातीच्या टप्प्याबद्दल माहिती नसते.

हे देखील लक्षात घ्यावे की नियतकालिक सिग्नलचा सहसंबंध मध्यांतर.

आता एकाच फ्रिक्वेन्सीच्या दोन हार्मोनिक सिग्नलच्या क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शनची गणना करूया, परंतु मोठेपणा आणि प्रारंभिक टप्प्यांमध्ये भिन्न आहेत

सिग्नल सहसंबंध फंक्शन्स सिग्नलच्या आकारांचे अविभाज्य परिमाणवाचक मूल्यांकन आणि एकमेकांशी त्यांच्या समानतेची डिग्री यासाठी वापरली जातात.

सिग्नल्सची ऑटोकॉरिलेशन फंक्शन्स (ACF). (सहसंबंध कार्य, CF). मर्यादित उर्जेसह निर्धारक सिग्नलच्या संबंधात, ACF हे सिग्नल आकाराचे एक परिमाणात्मक अविभाज्य वैशिष्ट्य आहे, आणि सिग्नल s(t) च्या दोन प्रतींच्या उत्पादनाच्या अविभाज्यतेचे प्रतिनिधित्व करते, वेळ t नुसार एकमेकांच्या सापेक्ष स्थलांतरित होते:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)

या अभिव्यक्तीवरून खालीलप्रमाणे, ACF हे सिग्नलचे स्केलर उत्पादन आहे आणि शिफ्ट t च्या चल मूल्यावर कार्यात्मक अवलंबित्वात त्याची प्रत आहे. त्यानुसार, ACF मध्ये ऊर्जेचे भौतिक परिमाण असते आणि t = 0 वर ACF चे मूल्य थेट सिग्नल उर्जेच्या बरोबरीचे असते:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

ACF कार्य सतत आणि सम आहे. नंतरचे व्हेरिएबल t = t-t अभिव्यक्ती (2.25) मध्ये बदलून सत्यापित करणे सोपे आहे:

B s (t) = s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2.25")

समानता लक्षात घेऊन, ACF चे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व केवळ t च्या सकारात्मक मूल्यांसाठी तयार केले जाते. सराव मध्ये, सिग्नल सामान्यतः 0-T पासून सकारात्मक युक्तिवाद मूल्यांच्या अंतराने निर्दिष्ट केले जातात. +t साइन इन एक्स्प्रेशन (2.25) म्हणजे t चे मूल्य जसजसे वाढते तसतसे सिग्नल s(t+t) ची एक प्रत t अक्षाच्या बाजूने डावीकडे सरकते आणि 0 च्या पलीकडे जाते, ज्यासाठी संबंधित विस्ताराची आवश्यकता असते. युक्तिवादाच्या नकारात्मक मूल्यांच्या क्षेत्रामध्ये सिग्नल. आणि गणनामध्ये t निर्दिष्ट करण्यासाठी मध्यांतर, नियमानुसार, सिग्नल निर्दिष्ट करण्याच्या मध्यांतरापेक्षा खूपच लहान असल्याने, युक्तिवाद अक्षाच्या बाजूने सिग्नलची प्रत डावीकडे हलविणे अधिक व्यावहारिक आहे, म्हणजे. अभिव्यक्ती (2.25) मध्ये s(t+t) ऐवजी s(t-t) फंक्शन वापरणे.

मर्यादित सिग्नल्ससाठी शिफ्ट टी चे मूल्य जसजसे वाढत जाते, तसतसे सिग्नलचे त्याच्या प्रतसह तात्पुरते ओव्हरलॅप कमी होते आणि स्केलर उत्पादन शून्याकडे झुकते.

उदाहरण.अंतराल (0,T) वर, A च्या बरोबरीचे मोठेपणा मूल्य असलेली आयताकृती नाडी दिली जाते.

जेव्हा नाडीची प्रत टी अक्षाच्या बाजूने उजवीकडे हलवली जाते, तेव्हा 0≤t≤T वर सिग्नल t ते T पर्यंतच्या अंतराने ओव्हरलॅप होतात. डॉट उत्पादन:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

नाडीची प्रत डावीकडे हलवताना, -T≤t वर

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

येथे |t| > T सिग्नल आणि त्याच्या प्रतला छेदनबिंदू नसतात आणि सिग्नलचे स्केलर उत्पादन शून्य असते (सिग्नल आणि त्याची बदललेली प्रत ऑर्थोगोनल बनते).

गणनेचा सारांश, आम्ही लिहू शकतो:

नियतकालिक सिग्नल्सच्या बाबतीत, ACF ची गणना एका कालावधीत T मध्ये केली जाते, स्केलर उत्पादनाची सरासरी आणि त्या कालावधीत त्याची स्थलांतरित प्रत:

B s (t) = (1/T)s(t) s(t-t) दि.

t=0 वर, या प्रकरणात ACF चे मूल्य ऊर्जेच्या बरोबरीचे नाही, तर अंतराल T मधील सिग्नलच्या सरासरी पॉवरच्या बरोबरीचे आहे. नियतकालिक सिग्नलचे ACF हे समान कालावधी T सह नियतकालिक कार्य देखील आहे. सिंगल-टोन हार्मोनिक सिग्नल, हे स्पष्ट आहे. पहिले कमाल ACF मूल्य t=0 शी संबंधित असेल. जेव्हा सिग्नलची प्रत मूळच्या सापेक्ष कालावधीच्या एक चतुर्थांशाने हलविली जाते, तेव्हा इंटिग्रँड फंक्शन्स एकमेकांना ऑर्थोगोनल बनतात (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) आणि शून्य ACF देतात मूल्य. t=T/2 ने शिफ्ट केल्यावर, सिग्नलची प्रत सिग्नलच्याच विरुद्ध दिशेने होते आणि स्केलर उत्पादन त्याच्या किमान मूल्यापर्यंत पोहोचते. शिफ्टमध्ये आणखी वाढ झाल्यामुळे, स्केलर उत्पादनाची मूल्ये वाढवण्याची उलट प्रक्रिया सुरू होते, t=3T/2 वर शून्य ओलांडते आणि t=T=2p/w o (cos w o t-2p) वर कमाल मूल्याची पुनरावृत्ती होते. º cos w o t सिग्नलच्या प्रती). अशीच प्रक्रिया अनियंत्रित आकाराच्या नियतकालिक सिग्नलसाठी होते (चित्र 2.11).

लक्षात घ्या की प्राप्त परिणाम हार्मोनिक सिग्नलच्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर अवलंबून नाही, जे कोणत्याही नियतकालिक सिग्नलसाठी वैशिष्ट्यपूर्ण आहे आणि ACF च्या गुणधर्मांपैकी एक आहे.

ठराविक अंतराने दिलेल्या सिग्नलसाठी, मध्यांतराच्या लांबीच्या सामान्यीकरणासह ACF ची गणना केली जाते:

B s (t) =s(t) s(t+t) दि. (2.26)

सिग्नलच्या ऑटोकॉरिलेशनचे मूल्यमापन ऑटोकॉरिलेशन गुणांकांच्या कार्याद्वारे देखील केले जाऊ शकते, ज्याची गणना सूत्र वापरून केली जाते (केंद्रित सिग्नलवर आधारित):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.

क्रॉस सहसंबंध कार्य सिग्नल्सचे (सीसीएफ) (क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन, सीसीएफ) दोन सिग्नलच्या आकारातील समानतेची डिग्री आणि समन्वय (स्वतंत्र व्हेरिएबल) च्या बाजूने एकमेकांशी संबंधित त्यांची सापेक्ष स्थिती दर्शवते, ज्यासाठी समान सूत्र (2.25) आहे. ACF साठी वापरले जाते, परंतु अविभाज्य अंतर्गत दोन भिन्न सिग्नलचे उत्पादन आहे, त्यापैकी एक वेळेनुसार बदलला जातो:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (२.२७)

फॉर्म्युला (2.4.3) मध्ये t = t-t व्हेरिएबल बदलताना, आम्हाला मिळते:

B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

तांदूळ. २.१२. सिग्नल आणि VKF

हे खालीलप्रमाणे आहे की CCF साठी समता स्थिती समाधानी नाही, आणि CCF मूल्यांना t = 0 वर जास्तीत जास्त असणे आवश्यक नाही. हे अंजीर मध्ये स्पष्टपणे पाहिले जाऊ शकते. 2.12, जेथे 0.5 आणि 1.5 बिंदूंवर केंद्रांसह दोन समान सिग्नल दिले जातात. फॉर्म्युला (2.27) वापरून टी व्हॅल्यूजमध्ये हळूहळू वाढ करणे म्हणजे s2(t) सिग्नल वेळ अक्षाच्या बाजूने डावीकडे क्रमिक बदलणे (s1(t च्या प्रत्येक मूल्यासाठी), मूल्ये s2(t+) t) एकात्मिक गुणाकारासाठी घेतले जातात).

t=0 वर सिग्नल ऑर्थोगोनल आहेत आणि B 12 (t)=0 चे मूल्य आहे. जेव्हा सिग्नल s2(t) हे t=1 मूल्याने डावीकडे हलवले जाते तेव्हा कमाल B 12 (t) दिसून येईल, ज्यावर सिग्नल s1(t) आणि s2(t+t) पूर्णपणे एकत्र केले जातात. B 21 (-t) च्या मूल्यांची गणना करताना, t च्या नकारात्मक मूल्यांमध्ये हळूहळू वाढ करून सिग्नल s1(t) ला क्रमिकपणे उजवीकडे हलवून समान प्रक्रिया केली जाते. B 21 (-t) ची मूल्ये ही B 12 (t) मूल्यांचे आरसा (t=0 अक्षाच्या सापेक्ष) प्रदर्शन आहेत आणि त्याउलट. अंजीर मध्ये. 2.13 हे स्पष्टपणे पाहिले जाऊ शकते.

तांदूळ. २.१३. सिग्नल आणि VKF

अशा प्रकारे, TCF च्या पूर्ण स्वरूपाची गणना करण्यासाठी, संख्या अक्ष t मध्ये नकारात्मक मूल्ये समाविष्ट करणे आवश्यक आहे आणि सूत्र (2.27) मध्ये t चे चिन्ह बदलणे हे सिग्नलची पुनर्रचना करण्यासारखे आहे.

नियतकालिक सिग्नलसाठी, CCF ची संकल्पना सहसा लागू केली जात नाही, त्याच कालावधीसह सिग्नलचा अपवाद वगळता, उदाहरणार्थ, सिस्टमच्या वैशिष्ट्यांचा अभ्यास करताना सिस्टमचे इनपुट आणि आउटपुट सिग्नल.

दोन सिग्नल्सच्या क्रॉस-कॉरिलेशन गुणांकांचे कार्य सूत्राद्वारे मोजले जाते (केंद्रित सिग्नलवर आधारित):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)

क्रॉस-कॉरिलेशन गुणांकांचे मूल्य -1 ते 1 पर्यंत बदलू शकते.

9 सहसंबंध विश्लेषण. सहसंबंध कार्य, त्याचे गुणधर्म. एकल नाडी आणि नियतकालिक सिग्नलच्या सहसंबंध कार्याची गणना

वर्णक्रमीय विश्लेषणासह, सहसंबंध विश्लेषण सिग्नल सिद्धांतामध्ये महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते. त्याचा अर्थ सिग्नलमधील समानता (फरक) मोजणे आहे. या उद्देशासाठी सहसंबंध कार्य वापरले जाते.

CF हा सिग्नलच्या दोन प्रतींच्या उत्पादनाचा अविभाज्य घटक आहे, एकमेकांच्या सापेक्ष स्थलांतरित. थोडा वेळ मित्र.

CF मूल्य जितके जास्त तितके साम्य अधिक मजबूत. CF मध्ये खालील गुणधर्म आहेत:

1. येथे CF मूल्य

सिग्नल एनर्जीच्या बरोबरीने (त्याच्या चौरसाचा अविभाज्य भाग)

2. सम कार्य आहे

3. येथे CF मूल्य

4. वाढत्या abs सह. मूल्ये मर्यादित ऊर्जा असलेल्या सिग्नलचा CF कमी होतो

5. जर सिग्नल हे व्होल्टेज विरुद्ध वेळेचे कार्य असेल, तर त्याच्या CF चे परिमाण [

]

नियतकालिक सिग्नलच्या बाबतीत (पीरियड T सह), CF ची गणना एका कालावधीत शिफ्ट केलेल्या प्रतींच्या उत्पादनाच्या सरासरीने केली जाते:

अशा CF च्या गुणधर्मांचा संच बदलतो:

1. येथे CF मूल्य

सरासरी सिग्नल पॉवरच्या समान

2. समता मालमत्ता जतन केली जाते.

3. येथे CF मूल्य

जास्तीत जास्त शक्य आहे.

4. CF हे नियतकालिक कार्य आहे (सिग्नलच्या समान कालावधीसह)

5. जर सिग्नलमध्ये डेल्टा फंक्शन्स नसतील, तर त्याचे CF सतत आहे.

6. जर सिग्नल U(t) चे अवलंबन असेल, तर CF चे परिमाण [

]

हार्मोनिक सिग्नलचे सीएफ हे हार्मोनिक फंक्शन आहे जे सिग्नलच्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर अवलंबून नसते.

10 क्रॉस कॉरिलेशन फंक्शन, त्याचे गुणधर्म. सिग्नलच्या क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शनची गणना

क्रॉस कॉरिलेशन फंक्शन (CCF) हे एक फंक्शन आहे जे वेळेत बदललेल्या दोन भिन्न सिग्नलसाठी समानतेची डिग्री दर्शवते.

सामान्य फॉर्म:

उदाहरणार्थ, 2 फंक्शन्सच्या CCF ची गणना करूया:

येथे

येथे

येथे

परिणाम एकत्र करून, आम्ही लिहू शकतो:

VKF गुणधर्म:

1)

2)

3)

4) फंक्शन्स असल्यास एस 1 (ट) आणि एस 2 (ट) डेल्टा फंक्शन्स नसतात, तर त्यांच्या ICF मध्ये खंडितता असू शकत नाही.

5) जर सिग्नल फंक्शन असेल यू(ट) , नंतर VKF चे परिमाण

11 यादृच्छिक प्रक्रिया. यादृच्छिक प्रक्रियेची अंमलबजावणी. यादृच्छिक प्रक्रियांच्या वितरणाचे कायदे

कधीकधी व्यवहारात आपल्याला घटनांचा सामना करावा लागतो, ज्याचा कालावधी कालांतराने अप्रत्याशित असतो आणि वेळेच्या प्रत्येक क्षणाचे वर्णन यादृच्छिक व्हेरिएबलद्वारे केले जाते. अशा घटनांना यादृच्छिक प्रक्रिया म्हणतात. यादृच्छिक प्रक्रियेद्वारेफंक्शन म्हणतात ζ( ट) नॉन-यादृच्छिक युक्तिवाद ट (सामान्यतः वेळ), जे वितर्काच्या प्रत्येक निश्चित मूल्यासाठी एक यादृच्छिक चल असते. उदाहरणार्थ, रेकॉर्डरद्वारे रेकॉर्ड केलेले दिवसाचे तापमान. प्रक्रियेद्वारे घेतलेली मूल्ये ζ( ट) ठराविक वेळी म्हणतात राज्ये, आणि सर्व राज्यांचा संच आहे फेज स्पेसयादृच्छिक प्रक्रिया. यादृच्छिक प्रक्रियेच्या संभाव्य अवस्थांच्या संख्येवर अवलंबून, त्याची फेज स्पेस असू शकते स्वतंत्रकिंवा सततजर एखादी यादृच्छिक प्रक्रिया वेळेच्या विशिष्ट बिंदूंवर त्याची स्थिती बदलू शकते, तर अशा प्रक्रियेला म्हणतात स्वतंत्र वेळेसह यादृच्छिक प्रक्रिया; आणि जर अनियंत्रित असेल तर - सतत वेळ प्रक्रिया .

यादृच्छिक प्रक्रिया ζ( ट) असे म्हणतात स्थिर, जर त्याच्या संभाव्य अवस्थांचे संभाव्य वितरण कालांतराने बदलत नसेल. उदाहरणार्थ, प्रत्येक सेकंदाला फासे फेकताना, संबंधित यादृच्छिक प्रक्रियेच्या अवस्थांचे संभाव्य वितरण (चित्र 44, b) वेळेवर अवलंबून नाही (बदलू नका) (या प्रकरणात, सर्व राज्ये ζ( ट) तितकेच शक्य आहे). याउलट, सभोवतालचे तापमान दर्शविणारी यादृच्छिक प्रक्रिया स्थिर नसते, कारण उन्हाळ्यात हिवाळ्यापेक्षा जास्त तापमान असते.

स्थिर यादृच्छिक प्रक्रियेच्या राज्यांच्या संभाव्यता वितरणास म्हणतात स्थिर वितरण.

त्यांच्यामध्ये एकसमान, गौसियन (सामान्य) विविध वितरण कायदे आहेत.

एकसमान: काही मूल्य x ची मूल्ये x 1 घेऊ द्या

P(x)=प्रणाली(0 वर x x 2)

आम्ही एकत्रीकरणाद्वारे वितरण कार्य शोधतो

F(x)= प्रणाली(0 वर x x 2)

गौसियन (सामान्य) वितरण. यादृच्छिक सिग्नलच्या सिद्धांतामध्ये, गॉसियन संभाव्यतेची घनता मूलभूत महत्त्वाची आहे

समानता (13.5) नुसार, नॉनलाइनर उपकरणाच्या प्रतिसादाचे सहसंबंध कार्य या उपकरणाच्या संक्रमण कार्याच्या दृष्टीने खालीलप्रमाणे व्यक्त केले जाऊ शकते:

दुहेरी अविभाज्य समान आहे, जसे की समानता (4.25) च्या तुलनेत, जटिल चलांचे कार्य म्हणून लिहिलेल्या परिमाणांच्या संयुक्त वैशिष्ट्यपूर्ण कार्यापर्यंत पाहिले जाऊ शकते. त्यामुळे,

एक्स्प्रेशन (13.40) हे ट्रान्सफॉर्मेशन पद्धत वापरून नॉनलाइनर उपकरणांवर यादृच्छिक प्रभावांचे विश्लेषण करण्यासाठी मुख्य सूत्र आहे. या प्रकरणाचा उरलेला भाग या अभिव्यक्तीचे विविध प्रकारच्या उपकरणांसाठी आणि त्यांच्यावरील विविध प्रकारच्या प्रभावांचे मूल्यमापन करण्यासाठी समर्पित आहे.

बऱ्याच समस्यांमध्ये, सिस्टम इनपुटवर लागू होणारा प्रभाव ही उपयुक्त सिग्नल आणि आवाजाची बेरीज आहे:

सांख्यिकीयदृष्ट्या स्वतंत्र संभाव्य प्रक्रियांची नमुना कार्ये कोठे आहेत. अशा परिस्थितीत, प्रभावाचे संयुक्त वैशिष्ट्यपूर्ण कार्य सिग्नल आणि आवाजाच्या वैशिष्ट्यपूर्ण कार्यांच्या उत्पादनासारखे असते आणि समानता (13.40) लागते.

जेथे - परिमाणांचे संयुक्त वैशिष्ट्यपूर्ण कार्य - परिमाणांचे संयुक्त वैशिष्ट्यपूर्ण कार्य आणि

इनपुटवर गॉसियन आवाज. जर डिव्हाइस इनपुटवरील आवाज शून्य गणितीय अपेक्षेसह वास्तविक गॉसियन संभाव्य प्रक्रियेचे नमुना कार्य असेल, तर समानतेनुसार (8.23),

जेथे या प्रकरणात सहसंबंध प्रतिसाद कार्य फॉर्म घेते

जर वरून फंक्शन्स आणि फंक्शन्स आता फंक्शन्सची उत्पादने म्हणून किंवा अशा उत्पादनांच्या बेरीज म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकतात, तर शेवटच्या अभिव्यक्तीमधील दुहेरी अविभाज्य अविभाज्यांचे गुणाकार म्हणून मोजले जाऊ शकते. घातांकीय फंक्शन फंक्शन्सच्या उत्पादनांद्वारे दर्शविले जाऊ शकते आणि त्याचा पॉवर सीरिजमध्ये विस्तार होतो हे तथ्य

म्हणून, नॉनलाइनर उपकरणाच्या प्रतिसादाचे सहसंबंध फंक्शन जेव्हा त्याच्या इनपुटवर गॉसियन आवाज लागू केला जातो तेव्हा लिहिता येतो

साइनसॉइडल सिग्नल.

आता आपण असे गृहीत धरू की यंत्राच्या इनपुटवरील सिग्नल हा एक मॉड्युलेटेड साइनसॉइड आहे, म्हणजे

कमी-फ्रिक्वेंसी संभाव्य प्रक्रियेचे नमुना कार्य कोठे आहे (म्हणजे, ज्याची वर्णक्रमीय घनता शून्य वारंवारतेला लागून असलेल्या वारंवारता श्रेणीमध्ये शून्य असते आणि तुलनेत संकुचित असते आणि जेथे यादृच्छिक चल मध्यांतरात समान रीतीने वितरीत केले जाते आणि त्यावर अवलंबून नसते मॉड्युलेटिंग सिग्नल आणि आवाज पासून अशा सिग्नलचे वैशिष्ट्यपूर्ण कार्य समान आहे

जेकोबी-राग सूत्र [अभिव्यक्ती (13.20)] मध्ये घातांकाचा विस्तार केल्यास, आम्ही प्राप्त करतो

कारण द

जिथे आपल्याला ते ऍम्प्लीट्यूड मॉड्युलेटेड साइनसॉइडल सिग्नलसाठी मिळते

साइनसॉइडल सिग्नल आणि गॉसियन आवाज त्याच्या इनपुटवर लागू केल्यावर नॉनलाइनर उपकरणाच्या प्रतिसादाचे परस्परसंबंध कार्य आता (13.47) मध्ये (13.45) बदलून शोधले जाऊ शकते. फंक्शन परिभाषित करू

कुठे आणि सहसंबंध कार्य

जेथे मॉड्युलेटिंग सिग्नलवर सरासरी केली जाते; नंतर प्रतिसादाचे सहसंबंध कार्य समान असेल

जर मॉड्युलेटिंग सिग्नल आणि आवाज दोन्ही स्थिर असतील तर अभिव्यक्ती (13.50) फॉर्म घेते

जर इनपुट सिग्नल एक अनमोड्युलेटेड साइन वेव्ह असेल

कारण या प्रकरणात गुणांक स्थिर आणि एकमेकांशी समान असतात.

आउटपुटवर सिग्नल आणि आवाजाचे घटक.

आता इनपुट नॉइजमध्ये मोड्युलेटेड साइनसॉइडचे स्वरूप असलेल्या केसचा विचार करूया. या प्रकरणात, आउटपुटवरील सहसंबंध कार्य अभिव्यक्ती (13.52) द्वारे दिले जाते. या अभिव्यक्तीचा पुढीलप्रमाणे विस्तार करूया:

चला त्याचे वैयक्तिक घटक पाहू. प्रथम टर्म डिव्हाइस आउटपुटवरील स्थिर घटकाशी संबंधित आहे. अटींचा पुढील गट प्रतिसादाच्या नियतकालिक भागाशी संबंधित आहे आणि मुख्यतः इनपुट सिग्नलच्या स्वतःशी परस्परसंवादामुळे आहे. उर्वरित संज्ञा प्रतिसादातील यादृच्छिक चढउतारांशी संबंधित आहेत, म्हणजे, आउटपुटमधील आवाज. पासून त्या

या उर्वरित अटी ज्यासाठी मुख्यतः इनपुट आवाजाच्या स्वतःशी परस्परसंवादामुळे आणि ज्यासाठी इनपुटवर सिग्नल आणि आवाज यांच्या परस्परसंवादामुळे आहेत.

सरासरी मूल्य, नियतकालिक घटक आणि यादृच्छिक घटकांची बेरीज म्हणून नॉनलाइनर उपकरणाच्या प्रतिसादाची कल्पना करूया:

नंतर सहसंबंध प्रतिसाद फंक्शन असे लिहिले जाऊ शकते

जेथे समानता (13.53) आणि (13.55) यांची तुलना करताना, आम्ही पाहतो की प्रतिसादाचे सरासरी मूल्य आणि त्याच्या नियतकालिक घटकांचे मोठेपणा थेट गुणांकांद्वारे व्यक्त केले जाऊ शकते.

याव्यतिरिक्त, प्रतिसादाच्या यादृच्छिक भागाचे सहसंबंध कार्य असे लिहिले जाऊ शकते

जेथे आम्ही (13.50) नुसार व्याख्या ठेवतो

हे लक्षात घ्यावे की, काटेकोरपणे सांगायचे तर, या सर्व अटी इनपुट सिग्नल मोड्युलेट करण्याच्या प्रक्रियेची कार्ये आहेत.

(13.62) मधील कोणत्या अटी उपयुक्त आउटपुट सिग्नल निर्धारित करतात या प्रश्नाचे निराकरण अर्थातच, नॉनलाइनर उपकरणाच्या उद्देशावर अवलंबून आहे. जर, उदाहरणार्थ, डिव्हाइस डिटेक्टर म्हणून वापरले जाते, तर आउटपुट सिग्नलचा कमी-फ्रिक्वेंसी भाग उपयुक्त आहे. या प्रकरणात, उपयुक्त सिग्नल समानतेने परिभाषित केलेल्या सहसंबंध कार्याच्या भागाशी संबंधित आहे.

दुसरीकडे, जर उपकरण नॉनलाइनर एम्पलीफायर म्हणून वापरले असेल तर

कारण या प्रकरणात सिग्नलचा उपयुक्त घटक इनपुट सिग्नलच्या वाहक वारंवारतेभोवती केंद्रित असतो.

साहित्य: [L.1], pp. 77-83

[एल.2], पृ. 22-26

[एल.3], पृ. 39-43

अनेक रेडिओ अभियांत्रिकी कार्यांमध्ये, अनेकदा सिग्नल आणि त्याची प्रत यांची तुलना करावी लागते, काही काळासाठी

ACF काढताना, गुणक इनपुटपैकी एकास सिग्नल पाठविला जातो आणि तोच सिग्नल दुसऱ्याला पाठविला जातो, परंतु थोडा वेळ विलंब होतो. उत्पादन आनुपातिक सिग्नल , एकत्रीकरणाच्या ऑपरेशनमधून जातो. इंटिग्रेटरच्या आउटपुटवर, एक व्होल्टेज व्युत्पन्न केला जातो जो एका निश्चित मूल्यावर ACF मूल्याच्या प्रमाणात असतो. विलंब वेळ बदलून, तुम्ही सिग्नलचा ACF तयार करू शकता.

प्रायोगिकरित्या VCF तयार करण्यासाठी, सिग्नल गुणक इनपुटपैकी एकाला दिले जाते आणि सिग्नल विलंब यंत्रास दिले जाते (इनकमिंग सर्किट्स डॉटेड लाइनमध्ये दर्शविल्या जातात). अन्यथा, डिव्हाइस त्याच प्रकारे कार्य करते. लक्षात घ्या की वर्णन केलेले उपकरण म्हणतात सहसंबंधकआणि सिग्नल प्राप्त करण्यासाठी आणि त्यावर प्रक्रिया करण्यासाठी विविध रेडिओ प्रणालींमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते.

आतापर्यंत, आम्ही मर्यादित ऊर्जा असलेल्या नॉन-पीरियडिक सिग्नल्सचे सहसंबंध विश्लेषण केले आहे. त्याच वेळी, अशा विश्लेषणाची आवश्यकता नियतकालिक सिग्नलसाठी उद्भवते, ज्यामध्ये सैद्धांतिकदृष्ट्या अमर्याद ऊर्जा असते परंतु मर्यादित सरासरी शक्ती असते. या प्रकरणात, ACF आणि CCF कालावधीच्या सरासरीने मोजले जातात आणि सरासरी शक्ती (अनुक्रमे स्वतःचे किंवा म्युच्युअल) चा अर्थ आहे. अशा प्रकारे, नियतकालिक सिग्नलचा ACF आहे:

, (2.66)

आणि अनेक कालखंडांसह दोन नियतकालिक सिग्नलचे क्रॉस-संबंध कार्य:

, (2.67)

कालावधीचे सर्वात मोठे मूल्य कुठे आहे.

चला हार्मोनिक सिग्नलचे ऑटोकॉरिलेशन फंक्शन शोधू

,

वर्तुळाकार वारंवारता कुठे आहे आणि प्रारंभिक टप्पा आहे.

ही अभिव्यक्ती (2.66) मध्ये बदलणे आणि ज्ञात त्रिकोणमितीय संबंध वापरून अविभाज्य गणना करणे:

.

विचारात घेतलेल्या उदाहरणावरून, आम्ही खालील निष्कर्ष काढू शकतो, जे कोणत्याही नियतकालिक सिग्नलसाठी वैध आहेत.

1. नियतकालिक सिग्नलचे ACF हे समान कालावधीसह नियतकालिक कार्य आहे.

2. नियतकालिक सिग्नलचे ACF हे तर्काचे सम कार्य आहे.

3. मूल्य सरासरी शक्ती दर्शवते जी 1 ओहमच्या प्रतिकाराने सोडली जाते आणि मोजलेले मूल्य असते.

4. नियतकालिक सिग्नलच्या ACF मध्ये सिग्नलच्या सुरुवातीच्या टप्प्याबद्दल माहिती नसते.

हे देखील लक्षात घेतले पाहिजे की नियतकालिक सिग्नलचा सहसंबंध मध्यांतर.

आता एकाच फ्रिक्वेन्सीच्या दोन हार्मोनिक सिग्नलच्या क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शनची गणना करूया, परंतु मोठेपणा आणि प्रारंभिक टप्प्यांमध्ये भिन्न आहेत

आणि.

(2.67) वापरून आणि साधे गणिते पार पाडून, आम्ही प्राप्त करतो

,

कुठे - सिग्नलच्या सुरुवातीच्या टप्प्यातील फरक आणि.

अशाप्रकारे, विचाराधीन दोन सिग्नलच्या क्रॉस-संबंध कार्यामध्ये सुरुवातीच्या टप्प्यांमधील फरकाविषयी माहिती असते. ही महत्त्वाची मालमत्ता विविध रेडिओ अभियांत्रिकी उपकरणांच्या निर्मितीमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते, विशेषतः, काही रेडिओ ऑटोमेशन सिस्टम आणि इतरांसाठी सिंक्रोनाइझेशन डिव्हाइसेस.

आणि वास्तविक आणि सम फंक्शन असल्याने, अभिव्यक्ती (2.69) आणि (2.70) अनुक्रमे फॉर्ममध्ये लिहिली जाऊ शकतात.

, (2.71)

. (2.72)

विचारात घेतलेले सहसंबंध-स्पेक्ट्रल विश्लेषण आम्हाला प्रभावी वर्णपट रुंदीचे दुसरे स्पष्टीकरण देण्यास अनुमती देते. ऊर्जा स्पेक्ट्रम ज्ञात असल्यास, प्रभावी स्पेक्ट्रम रुंदी खालीलप्रमाणे निर्धारित केली जाते:

. (2.73)

दुस-या शब्दात, ते एका बाजूच्या स्पेक्ट्रमच्या वक्राखालील क्षेत्रफळाच्या समान क्षेत्रासह आयताच्या बाजूचे प्रतिनिधित्व करते, ज्याची दुसरी बाजू समान आहे (चित्र 2.13). अर्थात, ऊर्जा स्पेक्ट्रमच्या प्रभावी रुंदीचे उत्पादन आणि परस्परसंबंध मध्यांतराचे मूल्य हे स्थिर मूल्य आहे

.

अशा प्रकारे, या प्रकरणात, आपल्याला अनिश्चिततेच्या तत्त्वाच्या प्रकटीकरणाचा सामना करावा लागतो: सहसंबंध मध्यांतर जितके मोठे असेल तितकी ऊर्जा स्पेक्ट्रमची रुंदी कमी असेल आणि त्याउलट.

धडा 2 साठी चाचणी प्रश्न

1. मूलभूत त्रिकोणमितीय कार्यांची प्रणाली काय आहे?

2. आपण त्रिकोणमितीय फूरियर मालिका कशी लिहू शकतो?

3. नियतकालिक सिग्नलचे मोठेपणा आणि फेज स्पेक्ट्रम परिभाषित करा.

4. आयताकृती डाळींच्या अनुक्रमाच्या स्पेक्ट्रमचे स्वरूप काय आहे?

5. एकाच नाडीचा स्पेक्ट्रम हा डाळींच्या नियतकालिक क्रमाच्या स्पेक्ट्रमपेक्षा कसा वेगळा असतो?

6. फॉरवर्ड आणि इनव्हर्स फोरियर ट्रान्सफॉर्म्स लिहा.

7. आयताकृती सिग्नलचा प्रभावी कालावधी आणि प्रभावी वर्णक्रमीय रुंदी कशी शोधायची?

8. डेल्टा फंक्शनच्या स्वरूपात सिग्नलचे स्पेक्ट्रम काय आहे?

9. निर्धारक सिग्नलचे ऑटोकॉरिलेशन फंक्शन परिभाषित करा.

10. दोन सिग्नल्सचे क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन काय आहे?

11. क्रॉस-कॉरिलेशन गुणांक कसा शोधायचा?

12. नियतकालिक सिग्नलच्या ऑटोकॉरिलेशन फंक्शनमध्ये कोणते गुणधर्म असतात?

सहसंबंध संकल्पना म्हणजे समानता. सिग्नल सहसंबंध फंक्शन एक फंक्शन आहे आणि द्वारे दिले जाते

जेथे τ हे सिग्नलचे टाइम शिफ्ट आहे.

जेव्हा अभिव्यक्ती (2.65) फॉर्म घेते

जेथे E सिग्नल ऊर्जा आहे. अशा प्रकारे, शून्य वेळेच्या शिफ्टमध्ये, सहसंबंध कार्य सिग्नल उर्जेच्या बरोबरीचे असते.

सहसंबंध फंक्शन (2.65) व्यतिरिक्त, एक परस्पर सहसंबंध कार्य आहे, जे दोन सिग्नलच्या मूल्यांमधील परस्पर संबंध दर्शवते आणि अभिव्यक्तीद्वारे निर्धारित केले जाते:

जेव्हा U1(t) आणि U2(t) समान सिग्नल U(t), तेव्हा क्रॉस-संबंध आणि सहसंबंध कार्ये समान असतात.

सहसंबंध फंक्शन त्याचे कमाल मूल्य फक्त येथे घेते. दोन समान सिग्नल्सचे क्रॉस-रिलेशन फंक्शन देखील कमाल वर पोहोचते. U1(t) आणि U2(t) वेगवेगळ्या सिग्नल्ससाठी, फंक्शनचे कमाल मूल्य कदाचित वर पोहोचणार नाही. उदाहरणार्थ, कोसाइन वेव्हच्या क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शनचे कमाल मूल्य आहे.

ठराविक सिग्नल्सच्या सहसंबंध कार्यांचा विचार करूया.

स्क्वेअर-वेव्ह व्हिडिओ सिग्नल आणि त्याचे सहसंबंध कार्य अंजीर मध्ये दर्शविले आहे. २.२४.

(2.66) वर आधारित पीरियड टी सह नियतकालिक व्हिडिओ सिग्नलच्या सहसंबंध कार्याचे स्वरूप आहे:

(2.67)

हार्मोनिक सिग्नलचे सहसंबंध कार्य समान आहे:

सिग्नल आणि त्याचे सहसंबंध कार्य आकृती 2.25 मध्ये दर्शविले आहे.

तांदूळ. २.२५. हार्मोनिक सिग्नल (a) आणि त्याचे सहसंबंध कार्य (b).

समान वारंवारतेच्या दोन हार्मोनिक सिग्नलच्या क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शनचे स्वरूप आहे:

(2.69)

जर आणि , तर क्रॉस-कॉरिलेशन फंक्शन (2.68) हार्मोनिक सिग्नल (2.69) च्या सहसंबंध फंक्शनच्या बरोबरीचे आहे.

भिन्न फ्रिक्वेन्सी असलेल्या दोन हार्मोनिक सिग्नलचे क्रॉस-संबंध कार्य शून्य आहे. परिणामी, भिन्न फ्रिक्वेन्सी असलेले हार्मोनिक सिग्नल एकमेकांशी असंबंधित (समान नसतात) असतात.